ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ (ਸਿਹਰਾ: ਗ੍ਰੇਗ ਪਾਮਰ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਵੀ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਚੁੱਪੀ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਮਰਾ ਹੈ। 1 ਇਹ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਕਮਰਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ "ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਦਾ ਕਮਰਾ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਬਣਤਰ ਕਾਰਨ ਆਵਾਜ਼ ਕੰਧਾਂ ਅਤੇ ਗੁੰਬਦ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੀ ਬਣਤਰ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਕਿ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਵੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਚੁੱਪੀ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ, ਜਾਂ ਸ਼ੰਕੂ, ਇੱਕ ਅਧਿਕਾਰਤ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਬਣਤਰ ਹੈ। ਜਿਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਬਣਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਚਲ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਬਣਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਭਾਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪਾਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਬਹੁਵਚਨ: ਫੋਸੀ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਗੱਤੇ ਦੇ ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ, ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ, ਇੱਕ ਪੈਨਸਿਲ ਅਤੇ ਧਾਗੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਗੱਤੇ ਵਿੱਚ ਥੰਬਟੈਕਸ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲਗਾਓ। ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਲੰਬਾ ਧਾਗੇ ਦਾ ਟੁਕੜਾ ਕੱਟੋ (ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ)। ਧਾਗੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਗੱਤੇ 'ਤੇ ਟੈਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਧਾਗੇ ਦੇ ਤਣਾਅ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਪੈਨਸਿਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾਓ। ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਹਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਦੋ ਅਕਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲੰਬੇ ਅਕਸ਼ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਅਕਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਅਕਸ਼ ਨੂੰ ਗੌਣ ਅਕਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਅਕਸ਼ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਿਖਰ (ਬਹੁਵਚਨ: ਸਿਖਰ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੌਣ ਅਕਸ਼ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਕਸ਼ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੋਕਸ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੁੱਖ ਅਕਸ਼ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਸਥਿਰ ਜੋੜ) ਫੋਕਸਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਲੰਬਵਤ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਭਾਵ, ਅਕਸ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ x- ਅਤੇ y-ਅਕਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ ਜਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਿੱਖੇ ਹੋਏ ਗਿਆਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੋਕਸ ( −c,0 ) ਅਤੇ (c,0) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਫੋਕਸਾਂ ਤੋਂ ( x,y ) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ( a,0 ) ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ ( −c,0 ) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। ( c,0 ) ਤੋਂ ( a,0 ) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−c ਹੈ। ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਫੋਕਸਾਂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ
ਜੇਕਰ ( x,y ) ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d 1 + d 2 ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ( x,y ) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ 2a ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d 1 + d 2 =2a ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਉਤਪਤੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਤਪਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਹੈ। x 2 a 2 + y 2 b 2 =1। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇ a>b, a>b, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇ b>a, b>a, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦੇ ਹਨ। ਕੁਝ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਪਲ ਲਓ: ਰੇਖੀ, ਵਰਗਾਕਾਰ, ਘਣ, ਘਾਤ, ਲਘੂਗਣਕ, ਆਦਿ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸਦਾ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ। ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ (ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ) ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਥਿਤੀ (ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ) ਦੁਆਰਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਵਰਣਨ ਦੇ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਮਾਨਸਿਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±a,0 ) ( ±a,0 ) ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±b ) ( 0,±b ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±c,0 ) ( ±c,0 ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6a ਦੇਖੋ
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±a ) ( 0,±a ) ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±b,0 ) ( ±b,0 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±c ) ( 0,±c ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6b ਦੇਖੋ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 6: (a) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (0,0) (b) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (0,0)
ਕਿਵੇਂ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ( ±a,0 ) ਅਤੇ (±c,0) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ( 0,±a ) ਅਤੇ (0,±c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
c 2 = a 2 − b 2 , ਦੇ ਨਾਲ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a 2 ਅਤੇ b 2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( ±8,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 ) ਹਨ?
ਹੱਲ
ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
ਸਿਖਰ ( ±8,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=8 ਅਤੇ a 2 =64।
ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=5 ਅਤੇ c 2 =25।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ c 2 = a 2 − b 2 ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a 2 =64 ਅਤੇ b 2 =39 ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x 2 64 + y 2 39 =1 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±4 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,± 15 ) ਹਨ?
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ( ±a,0 ) ਜਾਂ (0,±a) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ( ±c,0 ) ਜਾਂ (0,±c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ। ਇਹ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ a ਅਤੇ c, ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 ਦੇ ਨਾਲ, b 2 ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ પરિણામ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਨੂੰ ( x−h ) ਅਤੇ y ਨੂੰ ( y−k ) ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (h, k) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
( h±a,k ) ( h±a,k ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ।
( h,k±b ) ( h,k±b ) ਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
( h±c,k ), ( h±c,k ) ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7a ਦੇਖੋ।
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ।
( h,k±a ) ( h,k±a ) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ।
( h±b,k ) ( h±b,k ) ਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ।
( h,k±c ), ( h,k±c ) ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7b ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ( h,k ) ( h,k ) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭ ਸਕੀਏ।
ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (b) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅੰਡਾਕਾਰ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, 2a, ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਸਿਖਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ a 2 a 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ h h ਅਤੇ k, k, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਫੋਕਸਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c 2 c 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b 2 b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ।
ਡਿੰਬ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਹਨ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ( −2,−7 ) ਅਤੇ ( −2,1 ) ਹਨ?
ਹੱਲ
ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ (major axis) y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਡਿੰਬ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ:
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸਿਖਰਾਂ ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ (midpoint formula) ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸਿਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਕੇ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ a² = 25।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ c² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਨਾਭੀਆਂ (h,k±c) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, (h,k−c)=( −2,−7 ) ਅਤੇ (h,k+c)=( −2,1 )। ਅਸੀਂ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=−3 ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ c² = 16।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ c² = a² − b² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ h, k, a², ਅਤੇ b² ਲਈ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਡਿੰਬ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਡਿੰਬ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ( −3,3 ) ਅਤੇ ( 5,3 ) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ( 1−2√3 ,3 ) ਅਤੇ ( 1+2√3 ,3 ) ਹਨ?
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਡਿੰਬ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਡਿੰਬ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਡਿੰਬਾਂ (horizontal ellipses) ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x²/a² + y²/b² = 1, a>b ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਡਿੰਬਾਂ (vertical ellipses) ਲਈ x²/b² + y²/a² = 1, a>b ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਡਿੰਬ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ (co-vertices), ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x²/a² + y²/b² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±a,0) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±b) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±c,0) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x²/b² + y²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±b,0) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±c) ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ c² = a² − b² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ (coordinate plane) ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਡਿੰਬ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (smooth curve) ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਡਿੰਬ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਡਿੰਬ, x²/9 + y²/25 = 1, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>9, 25>9, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b 2 =9 b 2 =9 ਅਤੇ a 2 =25। a 2 =25। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
2. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) (0,0) ਹੈ।
3. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a)=(0,±25)=(0,±5) (0,±a)=(0,±25)=(0,±5) ਹਨ।
4. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0)=(±9,0)=(±3,0) (±b,0)=(±9,0)=(±3,0) ਹਨ।
5. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c), (0,±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 c 2 = a 2 − b 2। c, c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
6. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±4) (0,±4) ਹਨ।
7. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
9. ਸਮੀਕਰਨ x 2 36 + y 2 4 =1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। x 2 36 + y 2 4 =1। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 4
11. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਜਿਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ
12. ਸਮੀਕਰਨ 4 x 2 +25 y 2 =100 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 4 x 2 +25 y 2 =100। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>4, 25>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =25 a 2 =25 ਅਤੇ b 2 =4। b 2 =4। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
16. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) (0,0) ਹੈ।
17. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0)=(±25,0)=(±5,0) (±a,0)=(±25,0)=(±5,0) ਹਨ।
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b)=(0,±4)=(0,±2) (0,±b)=(0,±4)=(0,±2) ਹਨ।
19. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0), (±c,0) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2। c 2 = a 2 − b 2। c, c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
20. ਇਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±21,0) (±21,0) ਹਨ।
21. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
23. ਸਮੀਕਰਨ 49 x 2 +16 y 2 =784 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 49 x 2 +16 y 2 =784। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
24. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, a>b ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, a>b ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੇਂਦਰ, ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±b,k) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±c) ਹਨ।
c² = a² − b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ (x+2)²/4 + (y−5)²/9 = 1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 9>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ b²=4 ਅਤੇ a²=9, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k)=(−2,5) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±a)=(−2,5±√9)=(−2,5±3), ਜਾਂ (−2,2) ਅਤੇ (−2,8) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±b,k)=(−2±√4,5)=(−2±2,5), ਜਾਂ (−4,5) ਅਤੇ (0,5) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c² = a² − b²। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (−2,5−√5) ਅਤੇ (−2,5+√5) ਹਨ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਸਮੀਕਰਨ (x−4)²/36 + (y−2)²/20 = 1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪਛਾਣੋ ਕਿ ax² + by² + cx + dy + e = 0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ। ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਵਿੱਚ x² ਅਤੇ y² ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਹਰੇਕ ਪਰਿਮਾਪ ਲਈ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਜੋ ਇੱਕ ਸਥਿਰ, $m_1(x-h)^2 + m_2(y-k)^2 = m_3$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $m_1$, $m_2$, ਅਤੇ $m_3$ ਸਥਿਰ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ, ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ $4x^2 + 9y^2 - 40x + 36y + 100 = 0$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਸਮਾਨ ਪਰਿਮਾਪ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਮਾਨ ਸਥਿਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ $9 > 4$, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ $(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a^2 = 9$ ਅਤੇ $b^2 = 4$ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ $(h,k) = (5, -2)$ ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(h \pm a, k) = (5 \pm \sqrt{9}, -2) = (5 \pm 3, -2)$, ਜਾਂ $(2, -2)$ ਅਤੇ $(8, -2)$ ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(h, k \pm b) = (5, -2 \pm \sqrt{4}) = (5, -2 \pm 2)$, ਜਾਂ $(5, -4)$ ਅਤੇ $(5, 0)$ ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(h \pm c, k)$ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $c^2 = a^2 - b^2$ ਹੈ। $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(5 - \sqrt{5}, -2)$ ਅਤੇ $(5 + \sqrt{5}, -2)$ ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਉਪਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਚੰਦਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਕੱਕੇ, ਅਤੇ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਦੇ ਕੀਲ, ਰੱਡਰ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਖੰਭਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਲਿਥੋਟ੍ਰਿਪਟਰ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਮੈਡੀਕਲ ਉਪਕਰਨ ਗੁਰਦੇ ਦੀਆਂ ਪੱਥਰੀਆਂ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਇਮਾਰਤਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦਾਂ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਬੋਲਣ ਵਾਲਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਧੁਨੀ ਗੁਣਾਂ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੋ ਕੇ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਵਿੱਚ ਸਾਇੰਸ ਅਤੇ ਇੰਡਸਟਰੀ ਮਿਊਜ਼ੀਅਮ ਵਿੱਚ ਵਿਸਪਰ ਚੈਂਬਰ ਵਿੱਚ, ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ—ਲਗਭਗ 43 ਫੁੱਟ ਦੂਰ—ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਚੈਂਬਰ ਅਚਾਨਕ ਥਾਵਾਂ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਿਊਸਟਨ ਵਿੱਚ ਬੁਸ਼ ਇੰਟਰਨੈਸ਼ਨਲ ਏਅਰਪੋਰਟ ਅਤੇ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਂਡ ਸੈਂਟਰਲ ਟਰਮੀਨਲ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਉਹ ਯਾਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਿਆਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਮਰੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਿਸਪਰਿੰਗ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 7
2. ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ (ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂਆਂ) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
3. ਇੱਕ ਕਲਾ ਗੈਲਰੀ ਦਾ ਵੱਡਾ ਕਮਰਾ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਮਾਪ 46 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਅਤੇ 96 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
4. ਕਮਰੇ ਦੀ ਰੂਪ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (elliptical) ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ।
5. ਜੇ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ (0,0) ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ x²/a² + y²/b² =1 ਰੂਪ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>b। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ (major axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਛੋਟੇ ਧੁਰੇ (minor axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2b, ਤੋਂ ਲੰਬੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਕਮਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 96, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ, 46, ਛੋਟੇ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 2a=96 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=48, ਅਤੇ a²=2304। b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 2b=46 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=23, ਅਤੇ b²=529। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ x²/2304 + y²/529 =1 ਹੈ।
8. ਸੈਲਾਨੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੋਕਸ, (±c,0), ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣੀ ਪਵੇਗੀ, ਜਿੱਥੇ c² = a² − b²। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ: c² = a² − b² c² =2304−529 ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਵਰਤ ਕੇ ਬਦਲੋ। c=±√2304−529 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ। c=±√1775 ਘਟਾਓ। c≈±42 ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ (±42,0) ਫੋਕਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੈਲਾਨੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 2(42)=84 ਫੁੱਟ ਹੈ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ 480 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਅਤੇ 320 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ।
11. ⓐ ਕਮਰੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ। ⓑ ਜੇ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਦੋ ਲੋਕ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੋਕ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਅੰਡਾਕਾਰ
15. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
16. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
17. ਸ਼ਬਦਕ
18. ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
19. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
20. ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਧੁਰਾ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
21. ਪਿਛਲੇ ਸਵਾਲ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਲਈ, ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
22. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
23. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4x² + y = 4
4x² + 9y² = 36
4x² - y² = 4
4x² + 9y² = 1
4x² - 8x + 9y² - 72y + 112 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (end points) ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
x²/4 + y²/49 = 1
x²/100 + y²/64 = 1
x² + 9y² = 1
4x² + 16y² = 1
(x-2)²/49 + (y-4)²/25 = 1
(x-2)²/81 + (y+1)²/16 = 1
(x+5)²/4 + (y-7)²/9 = 1
(x-7)²/49 + (y-7)²/49 = 1
4x² - 8x + 9y² - 72y + 112 = 0
9x² - 54x + 9y² - 54y + 81 = 0
4x² - 24x + 36y² - 360y + 864 = 0
4x² + 24x + 16y² - 128y + 228 = 0
4x² + 40x + 25y² - 100y + 100 = 0
x² + 2x + 100y² - 1000y + 2401 = 0
4x² + 24x + 25y² + 200y + 336 = 0
9x² + 72x + 16y² + 16y + 4 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਪਤਾ ਕਰੋ।
(x+3)²/25 + (y+1)²/36 = 1
( x+1 ) 2 100 + ( y−2 ) 2 4 =1
x 2 + y 2 =1
x 2 +4 y 2 +4x+8y=1
10 x 2 + y 2 +200x=0
ਚਿੱਤਰਣ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ।
x 2 25 + y 2 36 =1
x 2 16 + y 2 9 =1
4 x 2 +9 y 2 =1
81 x 2 +49 y 2 =1
( x−2 ) 2 64 + ( y−4 ) 2 16 =1
( x+3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 9 =1
x 2 2 + ( y+1 ) 2 5 =1
4 x 2 −8x+16 y 2 −32y−44=0
x 2 −8x+25 y 2 −100y+91=0
x 2 +8x+4 y 2 −40y+112=0
64 x 2 +128x+9 y 2 −72y−368=0
16 x 2 +64x+4 y 2 −8y+4=0
100 x 2 +1000x+ y 2 −10y+2425=0
4 x 2 +16x+4 y 2 +16y+16=0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਨਾਭੀ (4,0) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,3)।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਨਾਭੀ (0,−2) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (5,0)।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ, ਨਾਭੀ (3,0) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਕਸ਼ ਲਘੂ ਅਕਸ਼ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਲੰਬਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ ( 4,2 ) ; ਸਿਖਰ ( 9,2 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+2 6 ,2 )
ਕੇਂਦਰ ( 3,5 ) ; ਸਿਖਰ ( 3,11 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+4 2 )
ਕੇਂਦਰ ( −3,4 ) ; ਸਿਖਰ ( 1,4 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( −3+2 3 ,4 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ Area=a⋅b⋅π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
( x−3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 16 =1
( x+6 ) 2 16 + ( y−6 ) 2 36 =1
( x+1 ) 2 4 + ( y−2 ) 2 5 =1
4 x 2 −8x+9 y 2 −72y+112=0
9 x 2 −54x+9 y 2 −54y+81=0
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਜਗਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 8 ਇਕਾਈ ਚੌੜੇ ਅਤੇ 4 ਇਕਾਈ ਉੱਚੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਉਸ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ ਜੋ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਮੇਹਰਾਬ (arch) ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ (ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਉਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ)। ਮੇਹਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਫੈਲਾਅ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਮੇਹਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਨੇੜਲੇ 0.01 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਮੇਹਰਾਬ (arch) ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ। ਮੇਹਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਫੈਲਾਅ 40 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 6 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੁਲ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-elliptical) ਮੇਹਰਾਬ (arch) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਫੈਲਾਅ 120 ਫੁੱਟ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਮੇਹਰਾਬ ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਹੋਣੀ ਹੈ। ਮੇਹਰਾਬ ਦੀ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਸੁਣ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਛੱਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਦੂਜੇ ਵਿਅਕਤੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 120 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਛੱਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ 80 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ?