ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਅਰੀਜ਼ੋਨਾ ਆਪਣੀ ਖੁਸ਼ਕ ਗਰਮੀ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਨ, ਤਾਪਮਾਨ 118 ∘ F ਤੱਕ ਵਧ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਰਫ 95 ∘ F ਤੱਕ ਡਿੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ T(x) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ T(x) ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਫਾਰਨਹੀਟ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਨਪੁੱਟ x, ਇੱਕ ਖਾਸ ਗਰਮੀਆਂ ਦੇ ਦਿਨ 'ਤੇ 24-ਘੰਟੇ ਦੀ ਘੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦਿਨ ਦਾ ਸਮਾਂ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਰੇਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਪੈੱਨ ਚੁੱਕੇ ਬਿਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕੋ ਨਿਰੀਖਣ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਰੇਕ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਬਿਨਾਂ ਬਰੇਕ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ
ਆਓ ਤਾਰੀਖ ਅਤੇ ਸਥਾਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿਚਾਰੀਏ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 27 ਜੂਨ, 2013, ਫੀਨਿਕਸ, AZ ਵਿੱਚ। ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਸਵੇਰੇ 2 ਵਜੇ, ਤਾਪਮਾਨ 96 ∘ F ਸੀ। ਦੁਪਹਿਰ 2 ਵਜੇ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ 116 ∘ F ਤੱਕ ਵਧ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਸ਼ਾਮ 4 ਵਜੇ ਤੱਕ ਇਹ 118 ∘ F ਸੀ। ਸਵੇਰੇ 2 ਵਜੇ ਅਤੇ ਦੁਪਹਿਰ 4 ਵਜੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ, ਬਾਹਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਜ਼ਰੂਰ 110.5 ∘ F ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਸੀ। ਦਰਅਸਲ, 96 ∘ F ਅਤੇ 118 ∘ F ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਵੀ ਤਾਪਮਾਨ ਉਸ ਦਿਨ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ 96 ∘ F ਅਤੇ 118 ∘ F ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਇੰਟਰਮੀਡੀਏਟ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ,
ਚਿੱਤਰ 1 ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖੋ। ਇਸ 24-ਘੰਟੇ ਦੀ ਮਿਆਦ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਰੇਕ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ, ਨਾ ਹੀ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਸੀ ਜਿਸ 'ਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਤੁਰੰਤ ਕਈ ਡਿਗਰੀਆਂ ਤੱਕ ਵਧ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੋਲ ਜਾਂ ਬਰੇਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।
ਜੇ ਤਾਪਮਾਨ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ? ਪਾਰਕਿੰਗ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਡਾਲਰਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਆਓ ਫੰਕਸ਼ਨ D(x) ਬਣਾਈਏ, ਜਿੱਥੇ D(x) x ਘੰਟਿਆਂ ਲਈ ਪਾਰਕਿੰਗ ਦੀ ਲਾਗਤ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਰਕਿੰਗ ਗੈਰੇਜ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟੇ ਦੇ ਭਾਗ ਲਈ $4.00 ਲੈਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ $25 ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਾਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘੰਟੇ ਅਤੇ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਪਾਰਕ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਾਰਜ $12 ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਘੰਟਾ ਪਾਰਕ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਾਰਜ $16 ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਕਦੇ ਵੀ $13, $14, ਜਾਂ $15 ਚਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। 12 ਅਤੇ 16 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਦੇ ਵੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ 24-ਘੰਟੇ ਦੀ ਮਿਆਦ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਬਰੇਕ ਹਨ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪਾਰਕਿੰਗ ਦੀ ਕੀਮਤ ਤੁਰੰਤ ਕਈ ਡਾਲਰਾਂ ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਪਾਰਕਿੰਗ-ਗੈਰੇਜ ਚਾਰਜ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ ਪੱਧਰਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਤੁਰੰਤ ਉੱਚ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਟੈਪਵਾਈਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੋਲ ਜਾਂ ਬਰੇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਅਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟੈਪਵਾਈਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਾਰਕਿੰਗ-ਗੈਰੇਜ ਚਾਰਜ ਪਾਰਕ ਕੀਤੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ, ਅਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।
ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ? ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ y=f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ।
ਸ਼ਰਤ 1 ਸ਼ਰਤ 1 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, x=a 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਵਾਂਗ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ।
ਸ਼ਰਤ 2 ਸ਼ਰਤ 2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, x=a 'ਤੇ ਲਿਮਿਟ, lim x→a f(x) ਲਿਖੀ ਗਈ, ਮੌਜੂਦ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x=a 'ਤੇ ਖੱਬੀ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ ਸੱਜੀ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ x=a ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x=a 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਹੋਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ਰਤ 3 ਸ਼ਰਤ 3 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, x=a 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਲ ਭਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ lim x→a f(x)=f(a) ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੋਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6 ਤੋਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਤੱਕ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਅਤੇ ਉਹ ਸ਼ਰਤ ਜਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਜੋ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6: ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ਰਤਾਂ 1 ਅਤੇ 3 ਦੋਵੇਂ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
Figure 7: ਸਥਿਤੀ 1 ਅਤੇ 2 ਦੋਵੇਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਥਿਤੀ 3 ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
8. ਚਿੱਤਰ 8: ਸ਼ਰਤ 1 ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੈ। ਸ਼ਰਤਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਅਸਫਲ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 9: ਹਾਲਤਾਂ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
1. ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) ਬਿੰਦੂ x=a ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
1. ਹਾਲਤ 1: f(a) f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
2. ਹਾਲਤ 2: lim x→a f(x) lim x→a f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ x=a 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ x=a।
3. ਹਾਲਤ 3: ਜੇਕਰ $x \to a$ ਹੋਣ ਤੇ $f(x) \to f(a)$ ਹੋਵੇ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਅਨਿਰੰਤਰ (discontinuous) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਇੱਕ ਛਾਲੇਦਾਰ ਅਸੰਤੁਲਨ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਵਿਘਨ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ (function) ਦਾ ਖੱਬਾ-ਪਾਸੇ ਦਾ ਲਿਮਟ (limit) ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦਾ ਲਿਮਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਣ। ਜੇਕਰ ਖੱਬਾ ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਪਰ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ x=a ਉੱਤੇ "ਛਾਲ" ਮਾਰਦਾ ਹੈ। ਫਲਨ ਨੂੰ ਛਾਲੀ ਵਿਘਨ (jump discontinuity) ਵਾਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਵੇਖੋ। ਜਦੋਂ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਵੇਖੋ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਕਿਵੇਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 10: ਜੰਪ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਟੀ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਛਾਲ ਅਸੰਤੋਖ
1. ਇੱਕ ਫਲਨ $f(x)$ ਦਾ ਬਿੰਦੂ $x=a$ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਛਾਲ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਖੱਬੀ ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੋਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਣ: $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$।
1. ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ
ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਬਣਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਵਾਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ। x=a ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਅਤੇ x=a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਸ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਖਾਲੀ ਜਗ੍ਹਾ ਨੂੰ ਭਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 11: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x=a ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਤਾ ਹੈ।
ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ
1. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ x=a ਉੱਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਲਿਮਿਟ, lim x→a f(x), ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਪਰ ਜਾਂ ਤਾਂ
f(a) f(a) υπαρχειν ουκ εστιν η
f(a), f(a), ਜਿੱਥੇ ਕਿ x=a ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, f(a)≠ lim x→a f(x). f(a)≠ lim x→a f(x).
1. ਮਿਸਾਲ 1
ਵਿਛੋੜਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਜੰਪ (jump) ਜਾਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ (removable discontinuity) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
2. ⓐ f(x)= x 2 −2x−15 x−5
3. ⓑ g(x)={ x+1, x<2 −x, x≥2
4. ਹੱਲ
5. ⓐ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=5 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਹਰ ਥਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(5) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ਰਤ 1 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, x, 5 ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਲਿਮਿਟ 8 ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ x=5 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਹੈ।
6. ⓑ ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ g(2)=−2। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੀਸਵਾਈਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਪੀਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਹਰ ਥਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਆਓ x, 2 ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ਰਤ 1 ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ: lim x→ 2 − ( x+1 )=2+1=3। ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ: lim x→ 2 + ( −x )=−2। ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਲਿਮਿਟ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਪਰ lim x→ 2 − f(x)≠ lim x→ 2 + f(x)। ਇਸ ਲਈ, lim x→2 f(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ਰਤ 2 ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਕੋਈ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਦੋਵੇਂ ਲਿਮਿਟਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, x=2 'ਤੇ ਜੰਪ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਲਈ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਜੰਪ ਜਾਂ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
9. ⓐ f(x)= x 2 −6x x−6
10. ⓑ g(x)={ x , 0≤x<4 2x, x≥4
11. ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟ ਅਸਲ-ਸੰਖਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
12. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਿੰਨੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਵੀ ਕੋਈ ਖਾਲੀ ਜਗ੍ਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਉਹ ਕਦੇ ਵੀ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਛਾਲ ਨਹੀਂ ਮਾਰਦੇ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, x, a ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ f(x) ਦੀ ਲਿਮਿਟ, x=a 'ਤੇ f(x) ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ lim x→a f(x)=f(a)। ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹੇ ਹਨ ਜੋ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਝ ਉਹ ਹਨ ਜੋ ਸਿਰਫ ਉੱਥੇ ਹੀ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ।
13. ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ
14. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ:
15. ਕਤਾਰ: ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)= x 4 −9 x 2
16. ਕਤਾਰ: ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)= 4 x+2 −5
17. ਕਤਾਰ: ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)=sin( 2x )−4
18. ਕਤਾਰ: ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)=−cos( x+ π 3 )
19. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਥਾਂ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:
20. ਕਤਾਰ: ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)=2ln( x ), x>0
21. ਕਤਾਰ: ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)=tan( x )+2, x≠ π 2 +kπ, k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
22. ਕਤਾਰ: ਰੈਸ਼ਨਲ ਫੰਕਸ਼ਨ | ਉਦਾ: f(x)= x 2 −25 x−7 , x≠7
23. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
24. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
1. ਚੈੱਕ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਸ਼ਰਤ: f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
2. ਚੈੱਕ ਕਰੋ ਕਿ ਦੂਜੀ ਸ਼ਰਤ: lim x→a f(x) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
3. ਚੈੱਕ ਕਰੋ ਕਿ ਤੀਜੀ ਸ਼ਰਤ: lim x→a f(x)=f(a)।
4. ਜੇਕਰ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 2
6. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕ 'ਤੇ ਵੰਡਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
7. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)={ 4x, x≤3 8+x, x>3 x=3 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
8. ⓐ x=3
9. ⓑ x= 8/3
10. ਹੱਲ
11. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f, x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਤਿੰਨੋਂ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ x=a 'ਤੇ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
12. ⓐ ਸ਼ਰਤ 1: ਕੀ f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ? f(3)=4(3)=12 ⇒ ਸ਼ਰਤ 1 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 2: ਕੀ lim x→3 f(x) ਮੌਜੂਦ ਹੈ? x=3 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, f(x)=4x; x=3 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, f(x)=8+x। ਸਾਨੂੰ x, 1 ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਹੱਦ: lim x→ 3⁻ f(x)= lim x→ 3⁻ 4(3)=12 ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਹੱਦ: lim x→ 3⁺ f(x)= lim x→ 3⁺ (8+x)=8+3=11 ਕਿਉਂਕਿ lim x→ 3⁻ f(x)≠ lim x→ 3⁺ f(x), lim x→3 f(x) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ⇒ ਸ਼ਰਤ 2 ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ⇒ ਸ਼ਰਤ 2 ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਦੀ ਕੋਈ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 2, x=3 'ਤੇ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ x=3 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), x=3 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
13. ⓑ x=8/3 ਸ਼ਰਤ 1: ਕੀ f(8/3) ਮੌਜੂਦ ਹੈ? f(8/3)=4(8/3)=32/3 ⇒ ਸ਼ਰਤ 1 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 2: ਕੀ lim x→ 8/3 f(x) ਮੌਜੂਦ ਹੈ? x=8/3 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, f(x)=4x; x=8/3 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, f(x)=8+x। ਸਾਨੂੰ x, 8/3 ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਖੱਬੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਹੱਦ: lim x→ 8/3⁻ f(x)= lim x→ 8/3⁻ 4(8/3)=32/3 ਸੱਜੇ-ਪਾਸੇ ਦੀ ਹੱਦ: lim x→ 8/3⁺ f(x)= lim x→ 8/3⁺ (8+x)=8+8/3=32/3 ਕਿਉਂਕਿ lim x→ 8/3 f(x) ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ⇒ ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ⇒ ਸ਼ਰਤ 2 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 3: ਕੀ f(8/3)= lim x→ 8/3 f(x)? f(32/3)=32/3 = lim x→ 8/3 f(x) ⇒ ਸ਼ਰਤ 3 ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ x=8/3 'ਤੇ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x), x=8/3 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
14. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
15. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)={ 1/x, x≤2 9x−11.5, x>2 x=2 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 3
17. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕ 'ਤੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
18. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= (x²−25)/(x−5) x=5 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
19. ਹੱਲ
20. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f, x=5 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਤਿੰਨੋਂ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ x=5 'ਤੇ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
21. ਸ਼ਰਤ 1:
22. ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਦੀ ਕੋਈ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ 2, x=5 'ਤੇ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ x=5 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f, x=5 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
24. ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸ਼ਰਤ 2 ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
x=5, x=5, ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 9− x 2 x 2 −3x x=3 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅਸੰਤੁਲਨ ਦੀ ਕਿਸਮ ਦੱਸੋ।
ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜੰਪ ਅਸੰਤੁਲਨਾਂ, ਅਤੇ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤੁਲਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਸੰਤੁਲਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਧੇਰੇ ਜਟਿਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ 'ਤੇ ਅਸੰਤੁਲਨ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਅਸੰਤੁਲਨ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂ a ਲਈ, x ਦੇ a ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾਵਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਲਈ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੀ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਸ਼ਰਤ 1 ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: f(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਸ਼ਰਤ 2 ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: lim x→a f(x) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਸ਼ਰਤ 3 ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ: lim x→a f(x)=f(a)।
ਜੇਕਰ ਤਿੰਨੋਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ x=a 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਅਸੰਤੁਲਿਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, f(x)=x+1 x<2 'ਤੇ, f(x)=3 2≤x<4 'ਤੇ, ਅਤੇ f(x)= x 2 −5 x≥4 'ਤੇ। ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਅਸੰਤੁਲਨ ਸੀਮਾ ਬਿੰਦੂਆਂ, x=2 ਅਤੇ x=4 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ।
x=2 'ਤੇ, ਆਓ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।
ਸ਼ਰਤ 1:
ਸ਼ਰਤ 2: ਕਿਉਂਕਿ x=2 ਦੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਕੀ lim x→ 2 − f(x)= lim x→ 2 + f(x)?
ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ: lim x→ 2 − f(x)= lim x→ 2 − ( x+1 )=2+1=3
ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ: lim x→ 2 + f(x)= lim x→ 2 + 3=3
Because 3=3 3=3, lim x→ 2 − f(x)= lim x→ 2 + f(x) lim x→ 2 − f(x)= lim x→ 2 + f(x)
Condition 3:
Because all three conditions are satisfied at x=2, x=2, the function f( x ) f( x ) is continuous at x=2. x=2.
At x=4, x=4, let us check the three conditions of continuity.
Condition 2: Because a different function defines the output left and right of x=4, x=4, does lim x→ 4 − f(x)= lim x→ 4 + f(x)? lim x→ 4 − f(x)= lim x→ 4 + f(x)?
Left-hand limit: lim x→ 4 − f(x)= lim x→ 4 − 3=3 lim x→ 4 − f(x)= lim x→ 4 − 3=3
Right-hand limit: lim x→ 4 + f(x)= lim x→ 4 + ( x 2 −11 )= 4 2 −11=5 lim x→ 4 + f(x)= lim x→ 4 + ( x 2 −11 )= 4 2 −11=5
Because 3≠5 3≠5, lim x→ 4 − f(x)≠ lim x→ 4 + f(x) , lim x→ 4 − f(x)≠ lim x→ 4 + f(x) , so lim x→4 f(x) lim x→4 f(x) does not exist.
Because one of the three conditions does not hold at x=4, x=4, the function f(x) f(x) is discontinuous at x=4. x=4.
Analysis
See Figure 13. At x=4, x=4, there exists a jump discontinuity. Notice that the function is continuous at x=2. x=2.
Figure 13: Graph is continuous at x=2 x=2 but shows a jump discontinuity at x=4. x=4.
Try It #4
Determine where the function f(x)={ πx 4 ,x<2 π x , 2≤x≤6 2πx,x>6 f(x)={ πx 4 ,x<2 π x , 2≤x≤6 2πx,x>6 is discontinuous.
Determining Whether a Function Is Continuous
To determine whether a piecewise function is continuous or discontinuous, in addition to checking the boundary points, we must also check whether each of the functions that make up the piecewise function is continuous.
How To
Given a piecewise function, determine whether it is continuous.
Determine whether each component function of the piecewise function is continuous. If there are discontinuities, do they occur within the domain where that component function is applied?
For each boundary point x=a x=a of the piecewise function, determine if each of the three conditions hold.
Example 5
Determining Whether a Piecewise Function Is Continuous
Determine whether the function below is continuous. If it is not, state the location and type of each discontinuity.
Solution
The two functions composing this piecewise function are f(x)=sin(x) f(x)=sin(x) on x<0 x<0 and f(x)= x 3 f(x)= x 3 on x>0. x>0. The sine function and all polynomial functions are continuous everywhere. Any discontinuities would be at the boundary point,
At x=0, x=0, let us check the three conditions of continuity.
Condition 1:
Because all three conditions are not satisfied at x=0, x=0, the function f(x) f(x) is discontinuous at x=0. x=0.
Analysis
See Figure 14. There exists a removable discontinuity at x=0; x=0; lim x→0 f(x)=0, lim x→0 f(x)=0, thus the limit exists and is finite, but f( a ) f( a ) does not exist.
Figure 14: Function has removable discontinuity at 0.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with continuity.
Continuity at a Point
Continuity at a Point: Concept Check
Verbal
State in your own words what it means for a function f f to be continuous at x=c. x=c.
State in your own words what it means for a function to be continuous on the interval ( a,b ). ( a,b ).
Algebraic
For the following exercises, determine why the function f f is discontinuous at a given point a a on the graph. State which condition fails.
f(x)=ln|x+3|,a=−3 f(x)=ln|x+3|,a=−3
f(x)=ln|5x−2|,a= 2 5 f(x)=ln|5x−2|,a= 2 5
f(x)= x 2 −16 x+4 ,a=−4 f(x)= x 2 −16 x+4 ,a=−4
f(x)= x 2 −16x x ,a=0 f(x)= x 2 −16x x ,a=0
f( x )={ x,x≠3 2x,x=3 a=3 f( x )={ x,x≠3 2x,x=3 a=3
f( x )={ 5,x≠0 3,x=0 a=0 f( x )={ 5,x≠0 3,x=0 a=0
f( x )={ 1 2−x , x≠2 3, x=2 a=2 f( x )={ 1 2−x , x≠2 3, x=2 a=2
f( x )={ 1 x+6 , x=−6 x 2 , x≠−6 a=−6 f( x )={ 1 x+6 , x=−6 x 2 , x≠−6 a=−6
f( x )={ 3+x, x<1 x, x=1 x 2 , x>1 a=1 f( x )={ 3+x, x<1 x, x=1 x 2 , x>1 a=1
f( x )={ 3−x, x<1 x, x=1 2 x 2 , x>1 a=1 f( x )={ 3−x, x<1 x, x=1 2 x 2 , x>1 a=1
f( x )={ 3+2x, x<1 x, x=1 − x 2 , x>1 a=1 f( x )={ 3+2x, x<1 x, x=1 − x 2 , x>1 a=1
f( x )={ x 2 , x<−2 2x+1, x=−2 x 3 , x>−2 a=−2 f( x )={ x 2 , x<−2 2x+1, x=−2 x 3 , x>−2 a=−2
f( x )={ x 2 −9 x+3 , x<−3 x−9, x=−3 1 x , x>−3 a=−3 f( x )={ x 2 −9 x+3 , x<−3 x−9, x=−3 1 x , x>−3 a=−3
f( x )={ x 2 −9 x+3 , x<−3 x−9, x=−3 −6, x>−3 a=3 f( x )={ x 2 −9 x+3 , x<−3 x−9, x=−3 −6, x>−3 a=3
f( x )= x 2 −4 x−2 ,a=2 f( x )= x 2 −4 x−2 ,a=2
f( x )= 25− x 2 x 2 −10x+25 ,a=5 f( x )= 25− x 2 x 2 −10x+25 ,a=5
f( x )= x 3 −9x x 2 +11x+24 ,a=−3 f( x )= x 3 −9x x 2 +11x+24 ,a=−3
f( x )= x 3 −27 x 2 −3x ,a=3 f( x )= x 3 −27 x 2 −3x ,a=3
f(x)= x |x| ,a=0 f(x)= x |x| ,a=0
f( x )= 2| x+2 | x+2 ,a=−2 f( x )= 2| x+2 | x+2 ,a=−2
For the following exercises, determine whether or not the given function f f is continuous everywhere. If it is continuous everywhere it is defined, state for what range it is continuous. If it is discontinuous, state where it is discontinuous.
f( x )= x 3 −2x−15 f( x )= x 3 −2x−15
f( x )= x 2 −2x−15 x−5 f( x )= x 2 −2x−15 x−5
f( x )=2⋅ 3 x+4 f( x )=2⋅ 3 x+4
f( x )=−sin( 3x ) f( x )=−sin( 3x )
f( x )= | x−2 | x 2 −2x f( x )= | x−2 | x 2 −2x
f( x )=tan( x )+2 f( x )=tan( x )+2
f( x )=2x+ 5 x f( x )=2x+ 5 x
f( x )= log 2 ( x ) f( x )= log 2 ( x )
f(x)=ln x 2 f(x)=ln x 2
f( x )= e 2x f( x )= e 2x
f(x)= x−4 f(x)= x−4
f( x )=sec( x )−3 f( x )=sec( x )−3.
f( x )= x 2 +sin( x ) f( x )= x 2 +sin( x )
Determine the values of b b and c c such that the following function is continuous on the entire real number line.
f(x)= { x+1, 1<x<3 x 2 +bx+c, | x−2 |≥1 f(x)= { x+1, 1<x<3 x 2 +bx+c, | x−2 |≥1
Graphical
For the following exercises, refer to Figure 15. Each square represents one square unit. For each value of a ,a, determine which of the three conditions of continuity are satisfied at x=a x=a and which are not.
x=−3 x=−3
x=2 x=2
x=4 x=4
For the following exercises, use a graphing utility to graph the function f(x)=sin( 12π x ) f(x)=sin( 12π x ) as in Figure 16. Set the x-axis a short distance before and after 0 to illustrate the point of discontinuity.
Which conditions for continuity fail at the point of discontinuity?
Evaluate f(0). f(0).
Solve for x x if f(x)=0. f(x)=0.
What is the domain of f( x )? f( x )?
For the following exercises, consider the function shown in Figure 17.
At what x-coordinates is the function discontinuous?
What condition of continuity is violated at these points?
Consider the function shown in Figure 18. At what x-coordinates is the function discontinuous? What condition(s) of continuity were violated?
Construct a function that passes through the origin with a constant slope of 1, with removable discontinuities at x=−7 x=−7 and x=1. x=1.
The function f(x)= x 3 −1 x−1 f(x)= x 3 −1 x−1 is graphed in Figure 19. It appears to be continuous on the interval [ −3,3 ], [ −3,3 ], but there is an x-value on that interval at which the function is discontinuous. Determine the value of x x at which the function is discontinuous, and explain the pitfall of utilizing technology when considering continuity of a function by examining its graph.
Find the limit lim x→1 f(x) lim x→1 f(x) and determine if the following function is continuous at x=1: x=1:
The graph of f(x)= sin(2x) x f(x)= sin(2x) x is shown in Figure 20. Is the function f( x ) f( x ) continuous at x=0? x=0? Why or why not?