ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਤਤਕਾਲੀਨ ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਕਣ ਦਾ ਤਤਕਾਲੀਨ ਵੇਗ ਲੱਭੋ।
ਡਿਵਾਈਸ ਅਤੇ ਮੀਡੀਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੂਹਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਰਾਂ 'ਤੇ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਸੰਚਾਰ ਅਤੇ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਕੰਪਨੀਆਂ, ਮਾਰਕਿਟਰ, ਸਿੱਖਿਅਕ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਕੀਲ ਰੁਝਾਨਾਂ ਅਤੇ ਤਰਜੀਹਾਂ 'ਤੇ ਨੇੜਿਓਂ ਨਜ਼ਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਪਿਊ ਰਿਸਰਚ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਅਨੁਸਾਰ, 2018 ਤੋਂ 2019 ਤੱਕ ਮਿਲੇਨੀਅਲ ਸਮਾਰਟਫੋਨ ਦੀ ਮਲਕੀਅਤ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਇਆ (92% ਤੋਂ 93% ਤੱਕ)। ਪਰ 74 ਸਾਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਮਰ ਦੇ ਲੋਕਾਂ ਲਈ, ਇਸੇ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗਿਣਤੀ 30% ਤੋਂ 40% ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ।
ਡਿਵਾਈਸ ਦੀ ਮਲਕੀਅਤ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਹੋਰ ਰੁਝਾਨ ਪੀੜ੍ਹੀ ਦਰ ਪੀੜ੍ਹੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। 2018 ਤੋਂ 2019 ਤੱਕ, ਮਿਲੇਨੀਅਲ ਟੈਬਲੇਟ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਮਲਕੀਅਤ 64% ਤੋਂ ਘਟ ਕੇ 52% ਰਹਿ ਗਈ। ਪਰ ਇਸੇ ਮਿਆਦ ਦੌਰਾਨ, ਬੇਬੀ ਬੂਮ ਪੀੜ੍ਹੀ ਦੀ ਟੈਬਲੇਟ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਮਲਕੀਅਤ 52% 'ਤੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਥਿਰ ਰਹੀ। ਅਤੇ 74-ਅਤੇ-ਉੱਪਰ ਸਮੂਹ ਦੀ ਟੈਬਲੇਟ ਮਲਕੀਅਤ 25% ਤੋਂ ਵਧ ਕੇ 33% ਹੋ ਗਈ।2
ਇਹਨਾਂ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸਾਂਝਾ ਹੈ? ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਗਏ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਅਜਿਹੇ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਾਅ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਬਦਲਾਅ ਦਰ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਹਰੇਕ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੁਝ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲੀਆਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਢਲਾਣਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਦਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ਪਰ ਉੱਥੇ ਇਸਨੂੰ ਪਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। (ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟ ਸਕਦੀ ਹੈ।) ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਢਲਾਣ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = x³ - 4x ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਢਲਾਣ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
x = -2 'ਤੇ ਢਲਾਣ 8 ਹੈ
x = -1 'ਤੇ ਢਲਾਣ –1 ਹੈ
x = 2 'ਤੇ ਢਲਾਣ 8 ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 1: –2, –1, ਅਤੇ 2 'ਤੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਆਓ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਵਕਰ 'ਤੇ x = a 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੀਏ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (a, f(a)) ਹਨ। ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ x = a ਦੇ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ h ਦੁਆਰਾ ਵਧਾਏ ਗਏ x-ਮੁੱਲ ਦੇ ਨਾਲ, ਵਕਰ 'ਤੇ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਕੁਝ ਸਕਾਰਾਤਮਕ-ਮੁੱਲ h ਲਈ (a+h, f(a+h)) ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਬਿੰਦੂ a ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ x = a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਢਲਾਣ ਮਾਪਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (a, f(a)) ਅਤੇ (a+h, f(a+h)) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਢਲਾਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ,
ਢਲਾਣ = y ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ / x ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ m_sec ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਢਲਾਣ m_sec ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (a, f(a)) ਅਤੇ (a+h, f(a+h)) ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਕਰ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ
ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (a,f(a)) ਅਤੇ (a+h,f(a+h)) ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ (AROC) f ਦੇ ਵਕਰ ਉੱਤੇ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ( 2,−6 ) ਅਤੇ ( −1,5 ) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ( 2,−6 ) ਜਾਂ ( 2,f( 2 ) ) ਹੈ, ਤਾਂ f( 2 )=−6 ਹੈ।
h ਦਾ ਮੁੱਲ 2 ਤੋਂ −1 ਤੱਕ ਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ −1−2=−3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, f( a+h ) a+h ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 2+(−3) ਜਾਂ −1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f(a+h)=f(−1)=5 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਬਿੰਦੂਆਂ ( −5,1.5 ) ਅਤੇ (−2.5,9) ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ h ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ h ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, a+h, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ, 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਜਾਵੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ ( a+h,f(a+h) ) ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ, ( a,f(a) ) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਬਣਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗੀ, ਅਤੇ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ x=a ਉੱਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ x=a ਉੱਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਬਣਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ x=a ਉੱਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਵਕਰ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪਲ ਉੱਤੇ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ, ਜਾਂ x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਦੋਵੇਂ ਹੀ x=a ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭ ਕੇ ਪਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਜੋ ਕਿ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਸੂਖਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੋਵੇਂ f'(a) ਵਜੋਂ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਪਹੁੰਚਿਆ ਜਾਵੇ।
ਜਿਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਾ ਪਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ x=a ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਜਾਂ ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਸਮੀਕਰਨ f( a+h )−f( a ) h ਨੂੰ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ h ਦੇ 0 ਵੱਲ ਵਧਣ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ: ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, x=a ਉੱਤੇ ਵਕਰ f(x) ਦੀ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ। x=a ਉੱਤੇ f(x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f ′ (a) ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f ′ (a) ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਬਿੰਦੂ ( a,f(a) ) ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
The derivative f ′ (a) f ′ (a) may be thought of as the instantaneous rate of change of the function f(x) f(x) at x=a. x=a.
If a function measures distance as a function of time, then the derivative measures the instantaneous velocity at time t=a. t=a.
Notations for the Derivative
The equation of the derivative of a function f( x ) f( x ) is written as y ′ = f ′ (x), y ′ = f ′ (x), where y=f(x). y=f(x). The notation f ′ (x) f ′ (x) is read as “ f prime of x. f prime of x. ” Alternate notations for the derivative include the following:
The expression f ′ (x) f ′ (x) is now a function of x x; this function gives the slope of the curve y=f( x ) y=f( x ) at any value of x. x. The derivative of a function f( x ) f( x ) at a point x=a x=a is denoted f ′ (a). f ′ (a).
How To
Given a function f, f, find the derivative by applying the definition of the derivative.
Calculate f( a+h ). f( a+h ).
Calculate f( a ). f( a ).
Substitute and simplify f( a+h )−f( a ) h . f( a+h )−f( a ) h .
Evaluate the limit if it exists: f ′ (a)= lim h→0 f( a+h )−f( a ) h . f ′ (a)= lim h→0 f( a+h )−f( a ) h .
Example 2
Finding the Derivative of a Polynomial Function
Find the derivative of the function f(x)= x 2 −3x+5 f(x)= x 2 −3x+5 at x=a. x=a.
Solution
We have:
Substitute f(a+h)= (a+h) 2 −3(a+h)+5 f(a+h)= (a+h) 2 −3(a+h)+5 and f(a)= a 2 −3a+5. f(a)= a 2 −3a+5.
Try It #2
Find the derivative of the function f(x)=3 x 2 +7x f(x)=3 x 2 +7x at x=a. x=a.
Finding Derivatives of Rational Functions
To find the derivative of a rational function, we will sometimes simplify the expression using algebraic techniques we have already learned.
Example 3
Finding the Derivative of a Rational Function
Find the derivative of the function f(x)= 3+x 2−x f(x)= 3+x 2−x at x=a. x=a.
Solution
f ′ (a)= lim h→0 f( a+h )−f( a ) h = lim h→0 3+( a+h ) 2−( a+h ) −( 3+a 2−a ) h Substitute f(a+h) and f(a) = lim h→0 (2−(a+h))(2−a)[ 3+( a+h ) 2−( a+h ) −( 3+a 2−a ) ] (2−(a+h))(2−a)(h) Multiply numerator and denominator by (2−(a+h))(2−a) = lim h→0 ( 2−( a+h ) ) (2−a)( 3+( a+h ) ( 2−( a+h ) ) )−(2−(a+h)) ( 2−a ) ( 3+a 2−a ) ( 2−( a+h ) )(2−a)(h) Distribute = lim h→0 6−3a+2a− a 2 +2h−ah−6+3a+3h−2a+ a 2 +ah ( 2−( a+h ) )( 2−a )(h) Multiply = lim h→0 5 h ( 2−( a+h ) )( 2−a )( h ) Combine like terms = lim h→0 5 ( 2−( a+h ) )( 2−a ) Cancel like factors = 5 ( 2−( a+0 ) )( 2−a ) = 5 ( 2−a )( 2−a ) = 5 ( 2−a ) 2 Evaluate the limit f ′ (a)= lim h→0 f( a+h )−f( a ) h = lim h→0 3+( a+h ) 2−( a+h ) −( 3+a 2−a ) h Substitute f(a+h) and f(a) = lim h→0 (2−(a+h))(2−a)[ 3+( a+h ) 2−( a+h ) −( 3+a 2−a ) ] (2−(a+h))(2−a)(h) Multiply numerator and denominator by (2−(a+h))(2−a) = lim h→0 ( 2−( a+h ) ) (2−a)( 3+( a+h ) ( 2−( a+h ) ) )−(2−(a+h)) ( 2−a ) ( 3+a 2−a ) ( 2−( a+h ) )(2−a)(h) Distribute = lim h→0 6−3a+2a− a 2 +2h−ah−6+3a+3h−2a+ a 2 +ah ( 2−( a+h ) )( 2−a )(h) Multiply = lim h→0 5 h ( 2−( a+h ) )( 2−a )( h ) Combine like terms = lim h→0 5 ( 2−( a+h ) )( 2−a ) Cancel like factors = 5 ( 2−( a+0 ) )( 2−a ) = 5 ( 2−a )( 2−a ) = 5 ( 2−a ) 2 Evaluate the limit
Try It #3
Find the derivative of the function f(x)= 10x+11 5x+4 f(x)= 10x+11 5x+4 at x=a. x=a.
Finding Derivatives of Functions with Roots
To find derivatives of functions with roots, we use the methods we have learned to find limits of functions with roots, including multiplying by a conjugate.
Example 4
Finding the Derivative of a Function with a Root
Find the derivative of the function f(x)=4 x f(x)=4 x at x=36. x=36.
Solution
We have
Multiply the numerator and denominator by the conjugate: 4 a+h +4 a 4 a+h +4 a . 4 a+h +4 a 4 a+h +4 a .
Try It #4
Find the derivative of the function f( x )=9 x f( x )=9 x at x=9. x=9.
Finding Instantaneous Rates of Change
Many applications of the derivative involve determining the rate of change at a given instant of a function with the independent variable time—which is why the term instantaneous is used. Consider the height of a ball tossed upward with an initial velocity of 64 feet per second, given by s(t)=−16 t 2 +64t+6, s(t)=−16 t 2 +64t+6, where t t is measured in seconds and s( t ) s( t ) is measured in feet. We know the path is that of a parabola. The derivative will tell us how the height is changing at any given point in time. The height of the ball is shown in Figure 4 as a function of time. In physics, we call this the “s-t graph.”
Example 5
Finding the Instantaneous Rate of Change
Using the function above, s(t)=−16 t 2 +64t+6, s(t)=−16 t 2 +64t+6, what is the instantaneous velocity of the ball at 1 second and 3 seconds into its flight?
Solution
The velocity at t=1 t=1 and t=3 t=3 is the instantaneous rate of change of distance per time, or velocity. Notice that the initial height is 6 feet. To find the instantaneous velocity, we find the derivative and evaluate it at t=1 t=1 and t=3: t=3:
f ′ (a)= lim h→0 f(a+h)−f(a) h s ′ (t)= lim h→0 −16 (t+h) 2 +64(t+h)+6−(−16 t 2 +64t+6) h Substitute s(t+h) and s(t). = lim h→0 −16 t 2 −32ht− h 2 +64t+64h+6+16 t 2 −64t−6 h Distribute. = lim h→0 −32ht− h 2 +64h h Simplify. = lim h→0 h (−32t−h+64) h Factor the numerator. = lim h→0 −32t−h+64 Cancel out the common factor h. s ′ (t)=−32t+64 Evaluate the limit by letting h=0. f ′ (a)= lim h→0 f(a+h)−f(a) h s ′ (t)= lim h→0 −16 (t+h) 2 +64(t+h)+6−(−16 t 2 +64t+6) h Substitute s(t+h) and s(t). = lim h→0 −16 t 2 −32ht− h 2 +64t+64h+6+16 t 2 −64t−6 h Distribute. = lim h→0 −32ht− h 2 +64h h Simplify. = lim h→0 h (−32t−h+64) h Factor the numerator. = lim h→0 −32t−h+64 Cancel out the common factor h. s ′ (t)=−32t+64 Evaluate the limit by letting h=0.
For any value of t t, s ′ ( t ) s ′ ( t ) tells us the velocity at that value of t. t.
Evaluate t=1 t=1 and t=3. t=3.
1. ਗੇਂਦ ਦੀ ਇੱਕ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਦੀ ਗਤੀ 32 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ।
2. ਗੇਂਦ ਦੀ ਤਿੰਨ ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਦੀ ਗਤੀ −32 −32 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ।
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
4. ਗੇਂਦ ਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=−16 t 2 +64t+6 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਉਡਾਣ ਦੇ 2 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਇਸਦੀ ਗਤੀ ਕੀ ਹੈ?
5. ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
6. ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) ਦੇ x=a ਉੱਤੇ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ ਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ। ਅਸੀਂ ਇਹ x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚ ਕੇ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, x=a ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
9. ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ x=a ਲੱਭੋ।
10. ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਰੇਖਾ ਜੋ x=a ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਉਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ। ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇੰਨੀ ਦੂਰ ਤੱਕ ਵਧਾਓ ਕਿ ਇਸਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲੀ y ਬਟੇ ਤਬਦੀਲੀ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 6
12. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
13. ਫੰਕਸ਼ਨ y=f( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ:
14. ⓐ f(0)
15. ⓑ f(2)
16. ⓒ f'(0)
17. ⓓ f'(2)
18. ਹੱਲ
19. ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲ, f( a ), ਲੱਭਣ ਲਈ, x=a ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਲੱਭੋ।
20. x=a ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, f ′ ( a ), ਲੱਭਣ ਲਈ, x=a ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ, ਅਤੇ ਉਸ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ।
21. ⓐ f(0) x=0 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( 0,1 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ f(0)=1 ਹੈ।
22. ⓑ f(2) x=2 ਉੱਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( 2,1 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ f(2)=1 ਹੈ।
23. ⓒ f ′ (0) x=0 ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x=0 ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਪਦੀ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f ′ (0)=0 ਹੈ।
24. ⓓ f ′ (2) x=2 ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x=2 ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਮਾਰਗ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ x ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, y ਮੁੱਲ ਚਾਰ ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਢਲਾਨ 4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f ′ (2)=4 ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
2. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 −3x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ: f(1), f ′ (1), f(0), ਅਤੇ f ′ (0).
3. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
4. x=a 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਵੇਖਿਆ ਜਾਵੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਇਕਾਈ ਹੈ
5. ਅਜਿਹੀ ਇਕਾਈ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਇਕਾਈ ਤਬਦੀਲੀ ਲਈ ਆਉਟਪੁਟ ਕਿੰਨੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਲ 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਉਹੀ ਚੀਜ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਇਕਾਈ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰਤੀ ਆਉਟਪੁਟ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ।
6. ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਨੀ ਦੁਆਰਾ x ਵਸਤੂਆਂ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪਾਦਨ ਲਾਗਤ C(x) ਹੈ, ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ ਲਾਗਤ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, C'(x) ਨੂੰ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ x ਵਸਤੂਆਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਾਧੂ ਲਾਗਤ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, C'(11) 11 ਵਸਤੂਆਂ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ 12ਵੀਂ ਵਸਤੂ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲਗਭਗ ਵਾਧੂ ਲਾਗਤ ਹੈ, ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ। C'(11)=2.50 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ 11 ਵਸਤੂਆਂ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ 12ਵੀਂ ਵਸਤੂ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ $2,500.00 ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੋਵੇਗਾ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 7
8. ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲੱਭਣਾ
9. x ਲੈਪਟਾਪ ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ f(x)= x 2 −100x ਹੈ। ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ 200 ਕੰਪਿਊਟਰ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, 201ਵੀਂ ਇਕਾਈ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲਗਭਗ ਲਾਗਤ ਕੀ ਹੈ?
10. ਹੱਲ
11. ਜੇਕਰ f(x)= x 2 −100x x ਕੰਪਿਊਟਰਾਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f'(x) ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੇਗਾ। ਸਾਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
12. f ′ (x)= lim h→0 f(x+h)−f(x) h ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ = lim h→0 (x+h) 2 −100(x+h)−( x 2 −100x) h f(x+h) ਅਤੇ f(x) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। = lim h→0 x 2 +2xh+ h 2 −100x−100h− x 2 +100x h ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟ ਕਰੋ। = lim h→0 2xh+ h 2 −100h h ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ। = lim h→0 h (2x+h−100) h ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਰੱਦ ਕਰੋ। = lim h→0 2x+h−100 ਸਰਲ ਕਰੋ। = ( 2x−100 ) ਜਦੋਂ h=0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ′ (x)=2x−100 ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ f ′ (200)=2(200)−100=300 200 ਇਕਾਈਆਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ′ (x)= lim h→0 f(x+h)−f(x) h ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ = lim h→0 (x+h) 2 −100(x+h)−( x 2 −100x) h f(x+h) ਅਤੇ f(x) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। = lim h→0 x 2 +2xh+ h 2 −100x−100h− x 2 +100x h ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟ ਕਰੋ। = lim h→0 2xh+ h 2 −100h h ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ। = lim h→0 h (2x+h−100) h ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਰੱਦ ਕਰੋ। = lim h→0 2x+h−100 ਸਰਲ ਕਰੋ। = ( 2x−100 ) ਜਦੋਂ h=0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f ′ (x)=2x−100 ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ f ′ (200)=2(200)−100=300 200 ਇਕਾਈਆਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. 201ਵੀਂ ਇਕਾਈ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲਗਭਗ $300 ਹੋਵੇਗੀ।
14. ਉਦਾਹਰਨ 8
15. ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
16. ਇੱਕ ਕਾਰ ਇੱਕ ਚੌਕ ਤੋਂ ਨਿਕਲਦੀ ਹੈ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਮੀਲਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਘੰਟਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ:
17. ⓐ f(0)=0
18. ⓑ f ′ (1)=60
19. ⓒ f(1)=70
20. ⓓ f(2.5)=150
21. ਹੱਲ
22. ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f'(t) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ t ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f'(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ t ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ਪਤਾ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
23. ⓐ f(0)=0 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਕਾਰ ਨੇ ਜ਼ੀਰੋ ਮੀਲ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਹੈ।
24. ⓑ f ′ (1)=60 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਕਾਰ 60 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ।
1. ਫ਼(1)=70 ਫ਼(1)=70 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ, ਕਾਰ ਨੇ 70 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਘੰਟੇ ਦੌਰਾਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, ਕਾਰ 1-ਘੰਟੇ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ 'ਤੇ ਜਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਸੀ, ਉਸ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
2. ਫ਼(2.5)=150 ਫ਼(2.5)=150 ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਦੋ ਘੰਟੇ ਅਤੇ ਤੀਹ ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਕਾਰ ਨੇ 150 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
4. ਇੱਕ ਦੌੜਾਕ ਪੂਰਬ-ਪੱਛਮੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਦੌੜਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼( t ) ਫ਼( t ) ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਉਹ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਫੁੱਟ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਹੈ। ਦੌੜਾਕ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮਝਾਓ।
5. ਫ਼( 0 )=0 ਫ਼( 0 )=0
6. ਫ਼( 10 )=150 ਫ਼( 10 )=150
7. ਫ਼'( 10 )=15 ਫ਼'( 10 )=15
8. ਫ਼'( 20 )=−10 ਫ਼'( 20 )=−10
9. ਫ਼( 40 )=−100 ਫ਼( 40 )=−100
10. ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
11. ਇਹ ਸਮਝਣ ਲਈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼( x ) ਫ਼( x ) ਦਾ x=a 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ x=a 'ਤੇ ਜ਼ੂਮ ਇਨ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼( x ) ਫ਼( x ) ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਭਾਵ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਅਸੀਂ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। ਜਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉੱਨਾ ਹੀ ਕਰਵ ਰੇਖੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
13. ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਪਰ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼(x)=| x |, ਫ਼(x)=| x |, x=0 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਪਰ x=0 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਿੰਨਾ ਵੀ ਨੇੜੇ ਜ਼ੂਮ ਕਰੀਏ, ਗ੍ਰਾਫ ਆਪਣੇ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
14. ਚਿੱਤਰ 9: ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼(x)=| x |, ਫ਼(x)=| x | ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, x-ਧੁਰਾ –0.1 ਤੋਂ 0.1 ਤੱਕ ਅਤੇ y-ਧੁਰਾ –0.1 ਤੋਂ 0.1 ਤੱਕ।
15. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 10 ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਤੰਗ ਕਰਕੇ ਹੋਰ ਨੇੜੇ ਜ਼ੂਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਸੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ x=0 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
16. ਚਿੱਤਰ 10: ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼(x)=| x |, ਫ਼(x)=| x | ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, x-ਧੁਰਾ –0.001 ਤੋਂ 0.001 ਤੱਕ ਅਤੇ y-ਧੁਰਾ –0.001 ਤੋਂ 0.001 ਤੱਕ।
17. ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਕੀ ਹਨ? ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਫ਼( x ) ਫ਼( x ) x=a 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
18. ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ
19. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ x 2 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ 4 ਦੇਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x 2 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਸੀਮਾ 6 ਦੇਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=2 'ਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਹੈ।
20. ਚਿੱਤਰ 11: ਫ਼( x ) ਫ਼( x ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾ ਹੈ।
21. ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫ਼(x)=| x | ਫ਼(x)=| x | ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
22. ਚਿੱਤਰ 12: ਫ਼(x)=| x | ਫ਼(x)=| x | ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫ਼(x)= x^(2/3) ਫ਼(x)= x^(2/3) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਸਪ ਹੈ। ਕਸਪ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਸਪ ਤੋਂ ਦੂਰ ਜਾਂਦੇ ਹੋਏ, ਖੱਬੇ-ਹੱਥ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਦੋਵੇਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ x 0 ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਓਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨਾਂ ਵਧਦੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਤੇਜ਼ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਇੱਕ ਦਾ ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਦੂਜੇ ਦਾ ਢਲਾਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
24. ਚਿੱਤਰ 13: ਫ਼(x)= x^(2/3) ਫ਼(x)= x^(2/3) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਕਸਪ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x)= x 1 3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਅਵਕਲਜ, ਜੋ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਚਿੱਤਰ 14: f(x)= x 1 3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ
ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਵਕਲਜ x=a 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f'(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਚਾਰ ਮਾਮਲੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਜਦੋਂ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਸੰਤਤਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣੀ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਨੁਕ (cusp) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ x=a 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੋਣ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 15 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫਲਨ ਹੈ
ਨਿਰੰਤਰ
ਅਸੰਤਤ
ਅਵਕਲਨੀਯ
ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ
ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸੰਤਤ ਜਾਂ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ।
ਹੱਲ
f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ( −∞,−2 )∪( −2, 1 )∪( 1,∞ ) 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=−2 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਸੰਤਤਤਾ ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਛਾਲ ਅਸੰਤਤਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 16: ਤਿੰਨ ਅੰਤਰਾਲ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ
f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ( −∞,−2 )∪( −2,−1 )∪( −1,1 )∪( 1,2 )∪( 2,∞ ) 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=−2 'ਤੇ ਅਸੰਤਤਤਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, x=−1 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਕਾਰਨ, x=1 'ਤੇ ਅਸੰਤਤਤਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਿੱਖੇ ਕੋਨੇ ਕਾਰਨ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 17 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 17: ਪੰਜ ਅੰਤਰਾਲ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #8
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਫਲਨ y=f(x) ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਕਿੱਥੇ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ x=a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ, ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ, y=m(x−x₁) + y₁ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ x=a 'ਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਢਲਾਣ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ f'(a), x=a 'ਤੇ f(x) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। x=a 'ਤੇ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜਾ (a, f(a)) ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, x=a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
f'(a) = lim h→0 f(a+h)−f(a) / h ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x=a 'ਤੇ f(x) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
x=a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢੋ। ਇਹ f(a) ਹੈ।
y=f'(a)(x−a)+f(a) ਵਿੱਚ (a,f(a)) ਅਤੇ f'(a) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y=mx+b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
x=3 'ਤੇ f(x)=x²−4x ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ:
f(a+h)= (a+h)²−4(a+h) ਅਤੇ f(a)= a²−4a ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 19 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 19: ਗ੍ਰਾਫ਼ x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
x=2 'ਤੇ f(x)=5x²−x+4 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਕਣ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ ਲੱਭਣਾ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਜਾਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਗਤੀ ਜਾਂ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਵੇਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਲ 'ਤੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਪਲ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਜਾਂ ਵੇਗ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਤੀ ਨੂੰ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਬੀਤੇ ਸਮੇਂ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਇੱਕ ਪਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਸਮਾਂ ਨਹੀਂ ਬੀਤਦਾ। ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਵੰਡਾਂਗੇ? ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਕਹਿਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਭਾਵੇਂ ਵਸਤੂ ਦਾ ਵੇਗ ਲਗਾਤਾਰ ਬਦਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਪਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਵੇਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ ਉਸ ਸਹੀ ਵੇਗ 'ਤੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਚੱਲਦੀ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰ ਲੈਂਦੀ।
ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ
ਮੰਨ ਲਓ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ t=a 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਜਾਂ ਵੇਗ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 200 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ 36 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ s(t)=−16t^2+36t+200 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ t=2 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ s'(t) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ s(a+h)=−16(a+h)^2+36(a+h)+200 ਅਤੇ s(a)=−16a^2+36a+200 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ t=2 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ t=2 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ, ਗੇਂਦ 28 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਇੱਕ ਪਟਾਕਾ ਰਾਕੇਟ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 12 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਖੂਹ ਵਿੱਚੋਂ 60 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਦਾਗਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ s=−16t^2+60t−12 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਚਾਰ ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇਸਦਾ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ?
ਮੀਡੀਆ
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਉਦਾਹਰਨ 4
ਜ਼ੁਬਾਨੀ
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਢਲਾਣ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਸਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ?
[x, x+h] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਅਤੇ x 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਿੱਚ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਇੱਕ ਕਾਰ ਨੇ ਦੁਪਹਿਰ 2:00 ਵਜੇ ਤੋਂ ਸ਼ਾਮ 4:00 ਵਜੇ ਤੱਕ 110 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ। ਕਾਰ ਦਾ ਔਸਤ ਵੇਗ ਕੀ ਸੀ? ਬਿਲਕੁਲ 2:30 P.M. 'ਤੇ, ਕਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ਬਿਲਕੁਲ 62 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦਰਜ ਕੀਤੀ ਗਈ। 2:30 P.M. 'ਤੇ ਕਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ? ਇਹ ਗਤੀ ਔਸਤ ਵੇਗ ਤੋਂ ਕਿਉਂ ਭਿੰਨ ਹੈ?
ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਪਾਣੀ ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 45 ਗੈਲਨ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਨਾਲ ਵਹਿ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਥਨ ਦਾ ਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
1. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ lim h→0 f(x+h)−f(x) h ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. f(x)=3x−4
4. f(x)=−2x+1
5. f(x)= x 2 −2x+1
6. f(x)=2 x 2 +x−3
7. f(x)=2 x 2 +5
8. f(x)= −1 x−2
9. f(x)= 2+x 1−x
10. f(x)= 5−2x 3+2x
11. f(x)= 1+3x
12. f(x)=3 x 3 − x 2 +2x+5
13. f(x)=5
14. f(x)=5π
15. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਲੱਭੋ।
16. ( −2,0 ) ਅਤੇ ( −4,5 )
17. ( 4,−3 ) ਅਤੇ ( −2,−1 )
18. ( 0,5 ) ਅਤੇ ( 6,5 )
19. ( 7,−2 ) ਅਤੇ ( 7,10 )
20. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
21. f(x)= x 3 +1
22. f(x)=−3 x 2 −7x=6
23. f(x)=7 x 2
24. f(x)=3 x 3 +2 x 2 +x−26
1. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ x ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. f(x)=2 x 2 −3x x=3
3. f(x)= x 3 +1 x=2
4. f(x)= √x x=9
5. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ, k ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਹੋਵੇ।
6. f(x)= x 2 −kx, y=4x−9
7. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
8. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿੱਥੇ ਨਿਰੰਤਰ/ਅਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭਿੰਨ/ਅਵਿਭਿੰਨ ਹੈ।
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 20 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਦਿੱਤੇ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਉੱਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
10. f( −1 )
11. f( 0 )
12. f( 1 )
13. f( 2 )
14. f(3)
15. f ′ ( −1 )
16. f ′ ( 0 )
17. f ′ (1)
18. f ′ ( 2 )
19. f ′ ( 3 )
20. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ:
21. f ′ ( x )=2x, f( 2 )=4
22. ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
23. ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਡੋਮੇਨਾਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ: [ 0.9,1.1 ], [ 0.99,1.01 ], [ 0.999,1.001 ], ਅਤੇ [0.9999,1.0001]। ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ 'ਤੇ ਉਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲਾਂ ਸੈੱਟ ਕੀਤੇ ਗਏ Xmin ਅਤੇ Xmax ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ Ymin ਅਤੇ Ymax ਨੂੰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੀ ਹੈ। (ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰਾਂ 'ਤੇ, ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ZOOM FIT ਜਾਂ ZOOM AUTO ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ, ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਕਿ ਵਕਰ x=1 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, x=1 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
24. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ਦੁਪਹਿਰ ਤੋਂ t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਇੱਕ ਗੈਸੋਲੀਨ ਟੈਂਕ ਦੀ ਮਾਤਰਾ f(t) ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ।
f(0)=600
f'(30)=−20
f(30)=0
f'(200)=30
f(240)=500
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ, s, s(t)=−16 t 2 +80t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
s(2)=96
s'(2)=16
s(3)=96
s'(3)=−16
s(0)=0,s(5)=0.
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਰੇਡੀਅਸ r ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ V, V= 4 3 π r 3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
r 1 cm ਤੋਂ 2 cm ਤੱਕ ਬਦਲਣ 'ਤੇ V ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ r=3 cm ਹੋਵੇ ਤਾਂ V ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, x ਵਸਤੂਆਂ ਵੇਚਣ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਆਮਦਨ R(x)=2 x 2 +10x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
x=10 ਤੋਂ x=20 ਤੱਕ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਆਮਦਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭੋ।
R'(10) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
R'(15) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। R'(15) ਦੀ R'(10) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, x ਸੈੱਲਫੋਨ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ C(x)= x 2 −4x+1000 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦੱਸੀ ਗਈ ਹੈ।
x=10 ਤੋਂ x=15 ਤੱਕ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ 15 ਸੈੱਲਫੋਨ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ 16ਵੇਂ ਸੈੱਲਫੋਨ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਗਭਗ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ 20 ਸੈੱਲਫੋਨ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ 21ਵੇਂ ਸੈੱਲਫੋਨ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਗਭਗ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲੱਭੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, lim x→a f(x)−f(a) x−a , ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
2. f(x)= 1 x 2
3. f(x)=5 x 2 −x+4
4. f(x)=− x 2 +4x+7
5. f(x)= −4 3− x 2