Probability is a measure that is associated with how certain we are of results, or outcomes, of a particular activity. When the activity is a planned operation carried out under controlled conditions, it is called an experiment. If the result is not predetermined, then the experiment is said to be a chance experiment. Each time the experiment is attempted is called a trial.
Examples of chance experiments include the following:
flipping a fair coin,
spinning a spinner,
drawing a marble at random from a bag, and
rolling a pair of dice.
A result of an experiment is called an outcome. The sample space of an experiment is the set, or collection, of all possible outcomes.
There are four main ways to represent a sample space:
row: Flipping a Fair Coin | Flipping Two Fair Coins
row: Systematic List of Outcomes | heads (H)tails (T) | HHHTTHTT
row: Tree Diagram* | Figure 3.2 | Figure 3.3
row: Venn Diagram* | Figure 3.4 | Figure 3.5
row: Set Notation | S= { H, T } S= { H, T } | S= { HH, HT, TH, TT } S= { HH, HT, TH, TT }
*We will investigate tree diagrams and Venn diagrams in Section 3.5.
Note—when represented as a set, the sample space is denoted with an uppercase S.
An event is any combination of outcomes. It is a subset of the sample space, so uppercase letters like A and B are commonly used to represent events. For example, if the experiment is to flip three fair coins, event A might be getting at most one head.
The probability of an event A is written P(A), and 0 ≤ P( A ) ≤ 1.P(A) = 0 0 ≤ P( A ) ≤ 1.P(A) = 0 means the event A can never happen. P(A) = 1 means the event A always happens. P(A) = 0.5 P(A) = 0.5 means the event A is equally likely to occur or not to occur.
If two outcomes or events are equally likely, then they have equal probability. For example, if you toss a fair, six-sided die, each face (1, 2, 3, 4, 5, or 6) is as likely to occur as any other face. If you toss a fair coin, a Head (H) and a Tail (T) are equally likely to occur. If you randomly guess the answer to a true/false question on an exam, you are equally likely to select a correct answer or an incorrect answer.
To calculate the probability of an event A when all outcomes in the sample space are equally likely, count the number of outcomes for event A and divide by the total number of outcomes in the sample space. This is known as the theoretical probability of A.
Theoretical Probability of Event A
For example, if you toss a fair dime and a fair nickel, the sample space is {HH, TH, HT, TT} where T = tails and H = heads. The sample space has four outcomes. Let A represent the outcome getting one head. There are two outcomes that meet this condition {HT, TH}, so P(A)= 2 4 = 1 2 =.5. P(A)= 2 4 = 1 2 =.5.
Theoretical probability is not sufficient in all situations, however. Suppose we want to calculate the probability that a randomly selected car will run a red light at a given intersection. In this case, we need to look at events that have occurred, not theoretical possibilities. We could install a traffic camera and count the number of times that cars failed to stop when the light was red and the total number of cars that passed through the intersection for a period of time. These data will allow us to calculate the experimental, or empirical, probability that a car runs the red light.
Experimental Probability of Event A
While theoretical and experimental methods provide two different ways to calculate probability, these methods are closely related. If you flip one fair coin, there is one way to obtain heads and two possible outcomes. So, the theoretical probability of heads is 1 2 1 2. Probability does not predict short-term results, however. If an experiment involves flipping a coin 10 times, you should not expect exactly five heads and five tails. The probability of any outcome measures the long-term relative frequency of that outcome. If you continue to flip the coin (from 20 to 2,000 to 20,000 times) the relative frequency of heads approaches .5 (the probability of heads).This important characteristic of probability experiments is known as the law of large numbers, which states that as the number of repetitions of an experiment is increased, the relative frequency obtained in the experiment tends to become closer and closer to the theoretical probability. Even though the outcomes do not happen according to any set pattern or order, overall, the long-term observed, or empirical, relative frequency will approach the theoretical probability.
1. ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ ਜਿਸਦੇ ਚਿਹਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਹਨ। ਘਟਨਾ E = ਪੰਜ ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ। ਦੋ ਨਤੀਜੇ {5, 6} ਹਨ। P(E)= 2 6 . P(E)= 2 6 . ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਾ ਕੁਝ ਵਾਰ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੈਰਾਨੀ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਤੀਜੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਾ ਖਾਂਦੇ ਹੋਣ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਸਾ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰੋਗੇ ਕਿ, ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, 2 6 2 6 ਰੋਲ ਪੰਜ ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋਣਗੇ। ਤੁਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ 2 6 2 6 ਦੀ ਉਮੀਦ ਨਹੀਂ ਕਰੋਗੇ, ਪਰ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੱਧਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, 2 6 2 6 ਦੀ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਵੇਗੀ।
2. ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਜਾਂ ਪਾਸਾ ਅਨਿਰਪੱਖ, ਜਾਂ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਯੂਰਪ ਦੇ ਦੋ ਗਣਿਤ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ ਅੰਕੜਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਤੋਂ ਬੈਲਜੀਅਨ ਇੱਕ-ਯੂਰੋ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਵਾਈ ਅਤੇ ਖੋਜ ਕੀਤੀ ਕਿ 250 ਟਰਾਇਲਾਂ ਵਿੱਚ, 56 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਅਤੇ 44 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਮੇਂ ਸਿਰ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ। ਅੰਕੜੇ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸਿੱਕਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਅਜਿਹੇ ਪੱਖਪਾਤ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਸਟੀਕ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਹੋਰ ਦੁਹਰਾਵਾਂ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਕੁਝ ਪਾਸੇ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਆਪਣੇ ਘਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਖੇਡ ਵਿੱਚ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ; ਹਰੇਕ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਛੋਟੇ ਮੋਰੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਉੱਕਰੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਲਈ ਪੇਂਟ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਤੁਹਾਡੇ ਪਾਸੇ ਪੱਖਪਾਤੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ; ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਚਿਹਰਿਆਂ 'ਤੇ ਮੋਰੀਆਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਗਿਣਤੀ ਕਾਰਨ ਹੋਏ ਥੋੜ੍ਹੇ ਭਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੂਆ ਖੇਡਣ ਵਾਲੇ ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਬਹੁਤ ਪੈਸਾ ਕਮਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਪੱਖਪਾਤ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੈਸੀਨੋ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਚਿਹਰੇ ਸਮਤਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਮੋਰੀਆਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਪੇਂਟ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਘਣਤਾ ਉਸ ਸਮੱਗਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਪਾਸੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰੇਕ ਚਿਹਰਾ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੋਵੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹਨ।
3. ਜਾਂ ਘਟਨਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਘਟਨਾ A ਜਾਂ B ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ A ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਾਂ B ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ A ਅਤੇ B ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ A = {1, 2, 3, 4, 5} ਅਤੇ B = {4, 5, 6, 7, 8}। A ਜਾਂ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 4 ਅਤੇ 5 ਦੋ ਵਾਰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਨਹੀਂ ਹਨ।
4. ਅਤੇ ਘਟਨਾ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਘਟਨਾ A ਅਤੇ B ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ A ਅਤੇ B ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ A ਅਤੇ B ਕ੍ਰਮਵਾਰ {1, 2, 3, 4, 5} ਅਤੇ {4, 5, 6, 7, 8} ਹਨ। ਫਿਰ A ਅਤੇ B = {4, 5}।
5. ਘਟਨਾ A ਦਾ ਪੂਰਕ A′ (ਪੜ੍ਹੋ "ਏ ਪ੍ਰਾਈਮ") ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। A′ ਵਿੱਚ ਉਹ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ A ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ P(A) + P(A′) = 1। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਅਤੇ A = {1, 2, 3, 4}। ਫਿਰ, A′ = {5, 6}। P(A) = 4646, P(A′) = 2626, ਅਤੇ P(A) + P(A′) = 4 6 + 2 6 4 6 + 2 6 = 1।
6. A ਦਿੱਤੇ B ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A|B) ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ "A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, B ਦਿੱਤੇ"। P(A|B) ਘਟਨਾ A ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਘਟਨਾ B ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ। ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਘਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਘਟੇ ਹੋਏ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ B ਤੋਂ A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। P(A|B) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸੂਤਰ P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B) ਹੈ ਜਿੱਥੇ P(B) ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ।
7. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ। ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। ਮੰਨ ਲਓ A = {2, 3} ਅਤੇ B = {2, 4, 6}। P(A|B) ਉਸ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਨਤੀਜਾ A ਵਿੱਚ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ B ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਤੀਜਾ B ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ ਹਨ। B ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜੋ A ਵਿੱਚ ਵੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(A|B) = 1 3 1 3।
8. ਸਾਨੂੰ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਹੀ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ S ਵਿੱਚ ਛੇ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
9. P(A|B) = P(A AND B) P(B) = (S ਵਿੱਚ 2 ਜਾਂ 3 ਅਤੇ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) 6 (S ਵਿੱਚ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 P(A AND B) P(B) = (S ਵਿੱਚ 2 ਜਾਂ 3 ਅਤੇ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) 6 (S ਵਿੱਚ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3
10. ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਅਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਹਰ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਪੜ੍ਹਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕੀ ਹਨ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਪਹਿਲਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਦਮ ਹੈ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੜ੍ਹੋ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਛਾਣੋ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸ਼ਰਤ ਦੱਸੀ ਗਈ ਹੈ ਜੋ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸ਼ਰਤੀ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਪਛਾਣੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 3.1
12. ਸਮੱਸਿਆ
13. ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ S ਇੱਕ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਤੇ 20 ਤੋਂ ਘੱਟ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
S = ________ Let event A = the even numbers and event B = numbers greater than 13.
A = ________, B = ________
P(A) = ________, P(B) = ________
A AND B = ________, A OR B = ________
P(A AND B) = ________, P(A OR B) = ________
A′ = ________, P(A′) = ________
P(A) + P(A′) = ________
P(A|B) = ________, P(B|A) = ________; are the probabilities equal?
Solution
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19}
P(A) = number of outcomes in A number of outcomes in S number of outcomes in A number of outcomes in S = 919 919, P(B) = number of outcomes in B number of outcomes in S number of outcomes in B number of outcomes in S = 6 19 6 19
The set A AND B contains all outcomes that lie in both sets A and B, so A AND B = {14,16,18}, The set A OR B contains all outcomes that lie either of the sets A or B, so A OR B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
P(A AND B) = 319 ,319 , P(A OR B) = 12 19 12 19
A' consists of all outcomes in the sample space, S, that DO NOT lie in A, so A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P(A′) = 1019 1019.
P(A) + P(A′) = 919 919 + 1019 1019 = 1
P(A|B) = P(A AND B) P(B) P(A AND B) P(B) = 3 19 6 19 = 3 19 6 19 = 3 6 3 6, P(B|A) = P(A AND B) P(A) P(A AND B) P(A) = 3 19 9 19 = 3 19 9 19 = 3 9 3 9, No, the probabilities are not equal.
Try It 3.1
The sample space S is all the ordered pairs of two whole numbers, the first from one to three and the second from one to four (Example: (1, 4)).
S = ________ Let event A = the sum is even and event B = the first number is prime.
A = ________, B = ________
P(A) = ________, P(B) = ________
A AND B = ________, A OR B = ________
P(A AND B) = ________, P(A OR B) = ________
B′ = ________, P(B′) = ________
P(A) + P(A′) = ________
P(A|B) = ________, P(B|A) = ________; are the probabilities equal?
Example 3.2
Problem
A fair, six-sided die is rolled. The sample space, S, is {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Describe each event and calculate its probability.
ਘਟਨਾ T = ਨਤੀਜਾ ਦੋ ਹੈ।
ਘਟਨਾ A = ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਘਟਨਾ B = ਨਤੀਜਾ ਚਾਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
A ਦਾ ਪੂਰਕ
A GIVEN B
B GIVEN A
A AND B
A OR B
A OR B′
ਘਟਨਾ N = ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਘਟਨਾ I = ਨਤੀਜਾ ਸੱਤ ਹੈ।
ਹੱਲ
T = {2}, P(T) = T ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ S ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 1/6
A = {2, 4, 6}, P(A) = 3/6 = 1/2
B = {1, 2, 3}, P(B) = 3/6 = 1/2
A′ = {1, 3, 5}, P(A′) = 3/6 = 1/2
A|B = {2}, B ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਨਤੀਜੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ 1 A ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(A|B) = 1/3
B|A = {2}, A ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਨਤੀਜੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ 1 B ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(B|A) = 1/3
A ਅਤੇ B = {2}, P(A ਅਤੇ B) = 1/6
A ਜਾਂ B = {1, 2, 3, 4, 6}, P(A ਜਾਂ B) = 5/6
A ਜਾਂ B′ = {2, 4, 5, 6}, P(A ਜਾਂ B′) = 4/6 = 2/3
N = {2, 3, 5}, P(N) = 3/6 = 1/2
ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟ ਕੇ 7 ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P(7) = 0।
ਉਦਾਹਰਨ 3.3
ਸਾਰਣੀ 3.2 100 ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ S ਦੇ ਵੰਡ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਲਿੰਗ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਹੋਣ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਸੰਗਠਿਤ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ | ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ
ਸਤਰ: ਮਰਦ | 43 | 9
ਸਤਰ: ਔਰਤਾਂ | 44 | 4
ਸਮੱਸਿਆ
ਆਓ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਈਏ: M = ਵਿਸ਼ਾ ਪੁਰਸ਼ ਹੈ, F = ਵਿਸ਼ਾ ਔਰਤ ਹੈ, R = ਵਿਸ਼ਾ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲਾ ਹੈ, L = ਵਿਸ਼ਾ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
P(M)
P(F)
P(R)
P(L)
P(M AND R)
P(F AND L)
P(M OR F)
P(M OR R)
P(F OR L)
P(M')
P(R|M)
P(F|L)
P(L|F)
ਹੱਲ
P(M)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੁਰਸ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 43+9 43+9+44+4 = 52 100 =.52
P(F)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਔਰਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 44+4 43+9+44+4 = 48 100 =.48
P(R)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 43+44 43+9+44+4 = 87 100 =.87
P(L)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 9+4 43+9+44+4 = 13 100 =.13
P(M ਅਤੇ R)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੁਰਸ਼, ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 43 100 =.43
P(F ਅਤੇ L)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਔਰਤ, ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 4 100 =.04
P(M ਜਾਂ F)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੁਰਸ਼ ਜਾਂ ਔਰਤ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 52+48 100 = 100 100 =1
P(M ਜਾਂ R)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੁਰਸ਼ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 43+9+44 100 = 96 100 =.96
P(F ਜਾਂ L)= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਔਰਤ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 44+4+9 100 = 57 100 =.57
P( M ' )= ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇ ਜੋ ਪੁਰਸ਼ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕੁੱਲ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = 44+4 43+9+44+4 = 48 100 =.48
P(R|M)= P(R ਅਤੇ M) P(M) = 0.43 0.52 ˜=.8269 (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
P(F|L)= P(F ਅਤੇ L) P(L) = 0.04 0.13 ˜=.3077 (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)
P(L|F)= P(L ਅਤੇ F) P(F) = 0.04 0.48 ˜=.0833 (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ)