ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬੇਲੋੜੇ ਦਾ ਇੱਕੋ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੱਚ ਹੋਣ:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)
ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇਹ ਗਿਆਨ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਪਰ ਗਈ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਪਾਸੇ ਦੇ ਦੋ ਰੋਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਰੋਲ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੇ ਰੋਲ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਦਿਖਾਉਣੀ ਪਵੇਗੀ। ਜੇ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
ਨਮੂਨਾ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਜਾਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਬਦਲੀ ਨਾਲ: ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਮੈਂਬਰ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲੇਗਾ।
ਇੱਕ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਨੀਲੇ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਿੱਟੇ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਮਜ਼ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦਾ ਹੈ, ਰੰਗ ਦਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੋਲੀ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਨੀਲੀ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 4/7 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਜੇਮਜ਼ ਦੂਜੀ ਵਾਰ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨੀਲੀ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਜੇ ਵੀ 4/7 ਹੈ। ਜੇਮਜ਼ ਨੇ ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਗੋਲੀ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਚਾਰ ਨੀਲੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਿੱਟੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ।
ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ: ਜਦੋਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਾਰ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਥੈਲੇ ਵਿੱਚ ਅਜੇ ਵੀ ਚਾਰ ਨੀਲੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਿੱਟੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਰੀਆ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦੀ ਹੈ, ਰੰਗ ਦਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੋਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਨੀਲੀ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 4/7 ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮਾਰੀਆ ਇੱਕ ਨੀਲੀ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਦੂਜੀ ਵਾਰ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੁਣ ਤਿੰਨ ਨੀਲੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਚਿੱਟੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਨੀਲੀ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁਣ 3/6 = 1/2 ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਗੋਲੀ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਹਟਾਉਣ ਨਾਲ ਦੂਜੀ ਡਰਾਅ 'ਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜੇ ਇਹ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਕਿ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ, ਤਾਂ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.4
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਕਾਰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਹ ਚਾਰ ਸੂਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਕਲੱਬ ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਕਾਲੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਡਾਇਮੰਡ ਅਤੇ ਹਾਰਟਸ ਲਾਲ ਕਾਰਡ ਹਨ। ਹਰ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਕਾਰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ A (ਏਸ), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
a. ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। 52 ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁੱਕਿਆ ਗਿਆ ਪਹਿਲਾ ਕਾਰਡ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਫਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 52-ਕਾਰਡ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਦੂਜਾ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਕਲੱਬ ਦਾ 10 ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹੋ, ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਫਲ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 52-ਕਾਰਡ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਜਾ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਵਾਰ, ਕਾਰਡ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q ਦੁਬਾਰਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਚੋਣਾਂ {ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q, ਕਲੱਬ ਦਾ 10, ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q} ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q ਦੋ ਵਾਰ ਚੁਣਿਆ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ 52-ਕਾਰਡ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ।
b. ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਤਿੰਨ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। 52 ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁੱਕਿਆ ਗਿਆ ਪਹਿਲਾ ਕਾਰਡ ਹਾਰਟਸ ਦਾ K ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਦਿੰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ 51 ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੂਜਾ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਡਾਇਮੰਡ ਦਾ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਦਿੰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ 50 ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਜਾ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ। ਤੀਜਾ ਕਾਰਡ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J ਹੈ। ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਚੋਣਾਂ {ਹਾਰਟਸ ਦਾ K, ਡਾਇਮੰਡ ਦਾ ਤਿੰਨ, ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J} ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਚੁਣਿਆ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.4
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਕਾਰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਹ ਚਾਰ ਸੂਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਹਰ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਕਾਰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਕਾਰਡ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੁਣੇ ਗਏ ਕਾਰਡ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q, ਹਾਰਟਸ ਦਾ K ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਾਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ?
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੁਣੇ ਗਏ ਕਾਰਡ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ Q, ਹਾਰਟਸ ਦਾ K, ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਦਾ J ਹਨ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ ਜਾਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.5
ਸਮੱਸਿਆ
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਕਾਰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਹ ਚਾਰ ਸੂਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ, ਅਤੇ ਸਪੇਡਜ਼ ਹਨ। ਹਰ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਕਾਰਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), ਅਤੇ K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। S = ਸਪੇਡਜ਼, H = ਹਾਰਟਸ, D = ਡਾਇਮੰਡ, C = ਕਲੱਬ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਚਾਰ ਕਾਰਡ ਚੁਣਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਰਡ ਡੇਕ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਪਾਉਂਦੇ। ਤੁਹਾਡੇ ਕਾਰਡ QS, 1D, 1C, QD ਹਨ।
ਤੁਸੀਂ ਚਾਰ ਪੱਤੇ ਚੁਣਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਅਗਲਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖ ਦਿੰਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਡੇ ਪੱਤੇ KH, 7D, 6D, KH ਹਨ।
a. ਜਾਂ b. ਵਿੱਚੋਂ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ?
ਹੱਲ
a. ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕੋਈ ਵੀ ਪੱਤਾ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ, ਹਰ ਡਰਾਅ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਡੇਕ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਿਰਭਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ ਹੈ; b. ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲਾ ਪੱਤਾ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਰੱਖ ਦਿੰਦੇ ਹੋ, ਡੇਕ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.5
ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ਫਲ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਡੇਕ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸੂਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸੂਟ ਕਲੱਬ, ਡਾਇਮੰਡ, ਹਾਰਟਸ ਅਤੇ ਸਪੇਡ ਹਨ। ਹਰ ਸੂਟ ਵਿੱਚ 13 ਪੱਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (ਜੈਕ), Q (ਕਵੀਨ), ਅਤੇ K (ਕਿੰਗ) ਉਸ ਸੂਟ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। S = ਸਪੇਡ, H = ਹਾਰਟਸ, D = ਡਾਇਮੰਡ, C = ਕਲੱਬ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਬਦਲੀ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਚਾਰ ਪੱਤੇ ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹੋ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸੰਭਵ ਹਨ? ਬਦਲੀ ਨਾਲ ਨਮੂਨਾ ਲੈਣ ਲਈ ਵੀ ਉਹੀ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛੋ।
QS, 1D, 1C, QD
KH, 7D, 6D, KH
QS, 7D, 6D, KS
ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ
A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਕੋਈ ਵੀ ਨਤੀਜਾ ਸਾਂਝਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਅਤੇ P(A ਅਤੇ B) = 0।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, ਅਤੇ C = {7, 9}। A ਅਤੇ B = {4, 5}। P(A ਅਤੇ B) = 2/10 ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। A ਅਤੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਸਾਂਝੀ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਇਸ ਲਈ P(A ਅਤੇ C) = 0। ਇਸ ਲਈ, A ਅਤੇ C ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.6
ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਉਛਾਲੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ।
ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ {HH, HT, TH, TT} ਹੈ, ਜਿੱਥੇ T = ਟੇਲਜ਼ ਅਤੇ H = ਹੈੱਡਸ। ਨਤੀਜੇ HH, HT, TH, ਅਤੇ TT ਹਨ। ਨਤੀਜੇ HT ਅਤੇ TH ਵੱਖਰੇ ਹਨ। HT ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਇਆ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਟੇਲ ਆਇਆ। TH ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਟੇਲ ਆਇਆ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਇਆ।
ਮੰਨ ਲਓ A = ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਟੇਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਟੇਲ। ਫਿਰ A ਨੂੰ {HH, HT, TH} ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ HH ਜ਼ੀਰੋ ਟੇਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। HT ਅਤੇ TH ਹਰ ਇੱਕ ਇੱਕ ਟੇਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ B = ਸਾਰੇ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। B ਨੂੰ {TT} ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। B, A ਦਾ ਪੂਰਕ ਘਟਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ B = A′। ਨਾਲ ਹੀ, P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1।
A ਅਤੇ B ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ P(A) = 3/4 ਅਤੇ P(B) = 1/4 ਹਨ।
ਮੰਨ ਲਓ C = ਸਾਰੇ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। C = {HH}। ਕਿਉਂਕਿ B = {TT}, P(B ਅਤੇ C) = 0। B ਅਤੇ C ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ। (B ਅਤੇ C ਕੋਈ ਵੀ ਮੈਂਬਰ ਸਾਂਝੇ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਾਰੇ ਟੇਲ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਹੈੱਡ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ।)
ਮੰਨ ਲਓ D = ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। D = {TT}। P(D) = 1/4।
ਮੰਨ ਲਓ E = ਪਹਿਲੀ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੀ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਜਾਂ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। E = {HT, HH}। P(E) = 2/4।
ਦੋ ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ (ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ) ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ F = ਦੋ ਉਛਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਟੇਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ। F = {HT, TH, TT}। P(F) = 3/4।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.6
ਬਦਲੀ ਨਾਲ 52 ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਡੇਕ ਤੋਂ ਦੋ ਪੱਤੇ ਖਿੱਚੋ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਕਾਲਾ ਪੱਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.7
ਸਮੱਸਿਆ
ਦੋ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕੇ ਉਛਾਲੋ। ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
F = ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਛਿੱਲ (ਜ਼ੀਰੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਛਿੱਲ) ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
G = ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
H = ਪਹਿਲੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਛਿੱਲ ਆਉਣ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਛਿੱਲ ਜਾਂ ਪਾਸਾ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
ਕੀ F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
J = ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਛਿੱਲ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ। ਕੀ J ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 3.6 ਵਿੱਚ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ (sample space) ਦੇਖੋ।
ਜ਼ੀਰੋ (0) ਜਾਂ ਇੱਕ (1) ਛਿੱਲ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਨਤੀਜੇ HH, TH, HT ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। P(F) = 3/4।
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ HH ਜਾਂ TT ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। P(G) = 2/4।
ਪਹਿਲੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਛਿੱਲ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਉਛਾਲ 'ਤੇ ਛਿੱਲ ਜਾਂ ਪਾਸਾ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ HH ਜਾਂ HT ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। P(H) = 2/4।
F ਅਤੇ G, HH ਸਾਂਝਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਇਸ ਲਈ P(F AND G) ਸਿਫ਼ਰ (0) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਛਿੱਲ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਦੋਵੇਂ ਸਿੱਕਿਆਂ 'ਤੇ ਛਿੱਲ ਆਉਂਦੀ ਹੈ (TT)। H ਦੇ ਨਤੀਜੇ HH ਅਤੇ HT ਹਨ।
J ਅਤੇ H ਦਾ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਇਸ ਲਈ P(J AND H) = 0। J ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.7
ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਚਿੱਟੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਾਲ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ (ਬਦਲ ਨਾਲ ਚੋਣ)। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ:
F = ਦੋ ਵਾਰ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
G = ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਦੀਆਂ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
H = ਪਹਿਲੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਆਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ।
ਕੀ F ਅਤੇ G ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
ਕੀ G ਅਤੇ H ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.8
ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰੋ। ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਹੈ। ਘਟਨਾ A = ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਟਾਂਕ (odd) ਹੈ। ਤਾਂ A = {1, 3, 5}। ਘਟਨਾ B = ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਜਿਸਤ (even) ਹੈ। ਤਾਂ B = {2, 4, 6}।
A ਦਾ ਪੂਰਕ, A′, ਪਤਾ ਕਰੋ। A ਦਾ ਪੂਰਕ, A′, B ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ A ਅਤੇ B ਮਿਲ ਕੇ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1। ਨਾਲ ਹੀ, P(A) = 3/6 ਅਤੇ P(B) = 3/6।
1. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ C = ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪਾਸਾ। ਫਿਰ C = {3, 5}। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ D = ਪੰਜ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮ ਪਾਸਾ। ਫਿਰ D = {2, 4}। P(C ਅਤੇ D) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਕੋਈ ਵੀ ਕੋਈ ਵੀ ਅਤੇ ਸਮ ਪਾਸਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, C ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
2. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ E = ਪੰਜ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪਾਸਾ। E = {1, 2, 3, 4}।
3. ਸਮੱਸਿਆ
4. ਕੀ C ਅਤੇ E ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ? ਹਾਂ ਜਾਂ ਨਾਂਹ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
5. ਹੱਲ
6. ਨਹੀਂ। C = {3, 5} ਅਤੇ E = {1, 2, 3, 4}। P(C ਅਤੇ E) = 1/6। ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹੋਣ ਲਈ, P(C ਅਤੇ E) ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
7. P(C|A) ਪਤਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਘਟਨਾ C = {3, 5} ਹੈ ਅਤੇ ਘਟਨਾ A = {1, 3, 5} ਹੈ। P(C|A) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ A ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਮੂਲ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਤੋਂ {1, 3, 5} ਤੱਕ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P(C|A) = 2/3।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.8
9. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ A = ਸਪੈਨਿਸ਼ ਸਿੱਖਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ B = ਜਰਮਨ ਸਿੱਖਣਾ। ਫਿਰ A ਅਤੇ B = ਸਪੈਨਿਸ਼ ਅਤੇ ਜਰਮਨ ਸਿੱਖਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ P(A) = 0.4 ਅਤੇ P(B) = .2। P(A ਅਤੇ B) = .08। ਕੀ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ? ਸੰਕੇਤ—ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿਖਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)
10. ਉਦਾਹਰਨ 3.9
11. ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ G = ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਘਟਨਾ H = ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਫਿਰ, G ਅਤੇ H = ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ P(G) = .6, P(H) = .5, ਅਤੇ P(G ਅਤੇ H) = .3। ਕੀ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
12. ਜੇ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਿਖਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ:
P(G|H) = P(G)
P(H|G) = P(H)
P(G AND H) = P(G)P(H)
NOTE
13. ਤੁਹਾਡੀ ਚੋਣ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਜਾਣਕਾਰੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਧੀਆਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੈ।
14. ਸਮੱਸਿਆ
a. Show that P(G|H) = P(G).
15. ਹੱਲ
P(G|H) = P(G AND H) P(H) P(G AND H) P(H) = .3 .5 .3 .5 = .6 = P(G)
16. ਸਮੱਸਿਆ
b. Show P(G AND H) = P(G)P(H).
17. ਹੱਲ
P(G)P(H) = (.6)(.5) = .3 = P(G AND H)
18. ਕਿਉਂਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ, ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਗਣਿਤ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਜੇ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਭਾਵ, ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਕਲਾਸ ਲੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਗਣਿਤ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦਾ। ਅਭਿਆਸ ਲਈ, ਇਹ ਦਿਖਾਓ ਕਿ P(H|G) = P(H) ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।
19. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 3.9
20. ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ, ਛੇ ਲਾਲ ਗੋਲੀਆਂ ਅਤੇ ਚਾਰ ਹਰੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ। ਲਾਲ ਗੋਲੀਆਂ 'ਤੇ ਨੰਬਰ 1, 2, 3, 4, 5, ਅਤੇ 6 ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਹਰੀਆਂ ਗੋਲੀਆਂ 'ਤੇ ਨੰਬਰ 1, 2, 3, ਅਤੇ 4 ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ।
21. R = ਇੱਕ ਲਾਲ ਗੋਲੀ
22. G = ਇੱਕ ਹਰੀ ਗੋਲੀ
23. O = ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਨੰਬਰ ਵਾਲੀ ਗੋਲੀ
24. ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4} ਹੈ।
S ਦੇ 10 ਨਤੀਜੇ ਹਨ। P(G AND O) ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.10
ਸਮੱਸਿਆ
ਘਟਨਾ C = ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ। ਘਟਨਾ D = ਭਾਸ਼ਣ ਕਲਾਸ ਲੈਣਾ।
Suppose P(C) = .75, P(D) = .3, P(C|D) = .75 and P(C AND D) = .225.
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
ਕੀ C ਅਤੇ D ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
ਕੀ C ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
What is P(D|C)?
ਹੱਲ
ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ P(C|D) = .75 = P(C)।
ਨਹੀਂ, ਕਿਉਂਕਿ P(C AND D) ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
P(D|C) = P(C AND D) P(C) P(C AND D) P(C) = 0.225 .75 0.225 .75 = .3
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.10
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਲਾਇਬ੍ਰੇਰੀ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਟਨਾਵਾਂ B = ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਚੁੱਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ D = ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ DVD ਚੁੱਕਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ P(B) = .40, P(D) = .30 ਅਤੇ P(B AND D) = .20।
Find P(B|D).
Find P(D|B).
ਕੀ B ਅਤੇ D ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
ਕੀ B ਅਤੇ D ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.11
ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਲਾਲ ਕਾਰਡ ਅਤੇ ਪੰਜ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ। ਲਾਲ ਕਾਰਡਾਂ ਉੱਤੇ 1, 2, ਅਤੇ 3 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡਾਂ ਉੱਤੇ 1, 2, 3, 4, ਅਤੇ 5 ਨੰਬਰ ਲਿਖੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਹੱਥ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ (ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ) ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਰਡ ਕੱਢਦੇ ਹੋ।
ਮੰਨ ਲਓ R = ਲਾਲ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ, B = ਨੀਲਾ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ, E = ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ ਕੱਢਿਆ ਗਿਆ।
ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5। S ਦੇ ਅੱਠ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
P(R) = 3/8। P(B) = 5/8। P(R AND B) = 0। ਤੁਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲਾਲ ਅਤੇ ਨੀਲਾ ਕਾਰਡ ਨਹੀਂ ਕੱਢ ਸਕਦੇ।
P(E) = 3/8। ਤਿੰਨ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ, R2, B2, ਅਤੇ B4।
P(E|B) = 2/5। ਪੰਜ ਨੀਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ: B1, B2, B3, B4, ਅਤੇ B5। ਨੀਲੇ ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਦੋ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ; B2 ਅਤੇ B4।
P(B|E) = 2/3। ਤਿੰਨ ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡ ਹਨ: R2, B2, ਅਤੇ B4। ਸਮ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਕਾਰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਦੋ ਨੀਲੇ ਹਨ; B2 ਅਤੇ B4।
ਘਟਨਾਵਾਂ R ਅਤੇ B ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ P(R AND B) = 0।
ਮੰਨ ਲਓ G = 3 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਵਾਲਾ ਕਾਰਡ। G = {B4, B5}। P(G) = 2/8 = 1/4। ਮੰਨ ਲਓ H = ਇੱਕ ਅਤੇ ਚਾਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਸ਼ਾਮਲ, ਨੰਬਰ ਵਾਲਾ ਨੀਲਾ ਕਾਰਡ। H = {B1, B2, B3, B4}। P(G|H) = 1/4। H ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ B4 ਕਾਰਡ ਦਾ ਨੰਬਰ ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 1/4 = 1/4, P(G) = P(G|H), ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ G ਅਤੇ H ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ।
1. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.11
2. ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਅਰੇਨਾ ਵਿੱਚ,
3. 70 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਘਰੇਲੂ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ,
4. 25 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਹਨ,
5. 20 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ, ਅਤੇ
6. ਬਾਹਰੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, 67 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਹਨ।
7. ਮੰਨ ਲਓ A ਬਾਹਰੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ B ਨੀਲਾ ਪਹਿਨੇ ਹੋਏ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਕ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ। ਕੀ ਬਾਹਰੀ ਟੀਮ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਅਤੇ ਨੀਲਾ ਪਹਿਨਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ? ਕੀ ਉਹ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ?
8. ਉਦਾਹਰਨ 3.12
9. ਇੱਕ ਖਾਸ ਜਮਾਤ ਵਿੱਚ, 60 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤਾਂ ਹਨ। ਜਮਾਤ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪੰਜਾਹ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਲੰਬੇ ਵਾਲ ਹਨ। 45 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਔਰਤਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਲੰਬੇ ਵਾਲ ਹਨ। ਔਰਤ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ, 75 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਲੰਬੇ ਵਾਲ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ F ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਔਰਤ ਹੋਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ L ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਲੰਬੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਔਰਤ ਹੋਣ ਅਤੇ ਲੰਬੇ ਵਾਲ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
10. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:
P(F) = 0.60; P(L) = 0.50
P(F AND L) = 0.45
P(L|F) = 0.75
NOTE
11. ਤੁਹਾਡੀ ਚੋਣ ਉਸ ਜਾਣਕਾਰੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਸੂਚੀ 'ਤੇ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਆਖਰੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਅਜੇ P(F|L) ਨਹੀਂ ਪਤਾ, ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੀ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
12. ਹੱਲ 1
13. ਹੱਲ 2
14. ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.12
16. ਮਾਰਕ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਰਸਤਾ ਚੁਣਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਵਿਕਲਪ I = ਇੰਟਰਸਟੇਟ ਅਤੇ F = ਪੰਜਵੀਂ ਸਟਰੀਟ ਹਨ।
17. P(I) = .44 ਅਤੇ P(F) = .55
18. P(I AND F) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਮਾਰਕ ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਰਸਤਾ ਚੁਣੇਗਾ।
19. P(I OR F) ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
20. ਉਦਾਹਰਨ 3.13
21. ਸਮੱਸਿਆ
22. ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ (ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ, H ਅਤੇ T ਹਨ) ਉਛਾਲੋ। ਨਤੀਜੇ ________ ਹਨ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ। ________ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
23. ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ (ਪਾਸੇ 'ਤੇ 1, 2, 3, 4, 5, ਜਾਂ 6 ਬਿੰਦੂ ਹਨ) ਉਛਾਲੋ। ਨਤੀਜੇ ________ ਹਨ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰੋ। ________ ਨਤੀਜੇ ਹਨ।
24. ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਦੋ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜਵਾਬ ________ ਹੈ।
1. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਉਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਨਿਰਪੱਖ, ਛੇ-ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਭਾਗ c ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ ਦਾ ਆਕਾਰ) ਹੈ। ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਸੰਕੇਤ—ਦੋ ਨਤੀਜੇ H1 ਅਤੇ T6 ਹਨ।
2. ਘਟਨਾ A = ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ (H) ਆਉਣਾ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ (2, 4, 6) ਆਉਣਾ। A = {________}। P(A) ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਘਟਨਾ B = ਸਿੱਕੇ 'ਤੇ ਹੈੱਡ ਆਉਣਾ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਆਉਣਾ। B = {________}। P(B) ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਕੀ A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ? ਸੰਕੇਤ—P(A AND B) ਕੀ ਹੈ? ਜੇਕਰ P(A AND B) = 0 ਹੈ, ਤਾਂ A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ।
5. ਕੀ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ? ਸੰਕੇਤ—ਕੀ P(A AND B) = P(A)P(B) ਹੈ? ਜੇਕਰ P(A AND B) = P(A)P(B) ਹੈ, ਤਾਂ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਉਹ ਨਿਰਭਰ ਹਨ।
6. ਹੱਲ
7. H ਅਤੇ T; 2
8. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
9. 2(6) = 12
10. ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਿਤ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਪਹਿਲਾਂ ਟੇਲ (T) ਆਉਣ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਫਿਰ ਹੈੱਡ (H) ਆਉਣ 'ਤੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ: T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6
11. A = {H2, H4, H6}; P(A) = ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜੋ A ਵਿੱਚ ਹਨ / ਸੰਭਵ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ = 3/12
12. B = {H3}; P(B) = 1/12
13. ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ P(A AND B) = 0
14. P(A AND B) = 0। P(A)P(B) = (3/12)(1/12) = 3/144। P(A AND B) , P(A)P(B) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A ਅਤੇ B ਨਿਰਭਰ ਹਨ।
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 3.13
16. ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਚਿੱਟੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲਾਲ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ (ਬਦਲਾਵ ਨਾਲ ਚੋਣ)। T ਦੋ ਵਾਰ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ, F ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ S ਦੂਜੀ ਵਾਰ ਚਿੱਟੀ ਗੇਂਦ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ ਹੈ।
Compute P(T).
Compute P(T|F).
17. ਕੀ T ਅਤੇ F ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
18. ਕੀ F ਅਤੇ S ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
19. ਕੀ F ਅਤੇ S ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?