ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਨਿਯਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹੋ ਕਿ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਉਹ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਗੁਣਨ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ P(A ਅਤੇ B) = P(B)P(A|B)।
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ P(A ਅਤੇ B) = P(B)P(A|B), ਗੁਣਨ ਨਿਯਮ, ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
If A and B are independent, then P(A|B) = P(A). In this special case, P(A AND B) = P(A|B)P(B) becomes P(A AND B) = P(A)P(B).
ਇੱਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਹਰੇ ਗੋਲੇ, ਤਿੰਨ ਲਾਲ ਗੋਲੇ, ਅਤੇ ਦੋ ਪੀਲੇ ਗੋਲੇ ਹਨ। ਮਾਰਕ ਬੈਗ ਵਿੱਚੋਂ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੀ ਦੇ ਦੋ ਗੋਲੇ ਕੱਢਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪੀਲਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰਾ ਗੋਲਾ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ P(ਹਰਾ | ਪੀਲਾ) = 4/8। ਪੀਲੇ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਕੱਢਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਹਰੇ ਗੋਲੇ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਅੱਠ ਗੋਲੇ ਹਨ।
ਜੋੜ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ P(A ਜਾਂ B) = P(A) + P(B) − P(A ਅਤੇ B)।
ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਕੱਢੋ। ਮੰਨ ਲਓ H = ਪੱਤਾ ਇੱਕ ਦਿਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ J = ਪੱਤਾ ਇੱਕ ਗੁਲਾਮ ਹੈ। ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਦਿਲ ਅਤੇ ਗੁਲਾਮ ਦੋਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
If A and B are mutually exclusive, then P(A AND B) = 0. Then P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B) becomes P(A OR B) = P(A) + P(B).
ਪੱਤਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਡੇਕ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਕੱਢੋ। ਮੰਨ ਲਓ H = ਪੱਤਾ ਇੱਕ ਦਿਲ ਹੈ ਅਤੇ S = ਪੱਤਾ ਇੱਕ ਚਿੜੀ ਹੈ। ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਦਿਲ ਅਤੇ ਚਿੜੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਪੱਤੇ ਦੇ ਦਿਲ ਜਾਂ ਚਿੜੀ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 3.14
ਕਲਾਸ ਛੁੱਟੀਆਂ ਬਿਤਾਉਣ ਲਈ ਕਿੱਥੇ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਇਹ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਦੋ ਵਿਕਲਪ ਹਨ: A = ਨਿਊਜ਼ੀਲੈਂਡ ਅਤੇ B = ਅਲਾਸਕਾ।
ਕਲਾਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਛੁੱਟੀ ਦਾ ਖਰਚਾ ਚੁੱਕ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ A ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A) = .6 ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਦੁਆਰਾ B ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(B) = .35 ਹੈ।
P(A ਅਤੇ B) = 0 ਕਿਉਂਕਿ ਕਲਾਸ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਛੁੱਟੀ ਲੈਣ ਦਾ ਖਰਚਾ ਚੁੱਕ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਨਿਊਜ਼ੀਲੈਂਡ ਜਾਂ ਅਲਾਸਕਾ ਚੁਣਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ P(A ਜਾਂ B) = P(A) + P(B) = .6 + .35 = .95 ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਕਿਤੇ ਵੀ ਛੁੱਟੀ ਨਾ ਮਨਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ .05 ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.15
ਕਾਰਲੋਸ ਕਾਲਜ ਫੁੱਟਬਾਲ ਖੇਡਦਾ ਹੈ। ਉਹ ਜਦੋਂ ਵੀ ਸ਼ੂਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ 65 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਮਾਂ ਗੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਲੋਸ ਅਗਲੀ ਗੇਮ ਵਿੱਚ ਲਗਾਤਾਰ ਦੋ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੇਗਾ। A = ਉਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਯਤਨ 'ਤੇ ਕਾਰਲੋਸ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(A) = .65। B = ਉਸਦੇ ਦੂਜੇ ਯਤਨ 'ਤੇ ਕਾਰਲੋਸ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(B) = .65। ਕਾਰਲੋਸ ਲੜੀਵਾਰ ਸ਼ੂਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਗੋਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ .90 ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਦੋਵੇਂ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
a. The problem is asking you to find P(A AND B) = P(B AND A). Since P(B|A) = .90: P(B AND A) = P(B|A) P(A) = (.90)(.65) = .585.
ਕਾਰਲੋਸ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਗੋਲ ਨੂੰ .585 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਕਾਰਲੋਸ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲਾ ਗੋਲ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
b. ਸਮੱਸਿਆ ਤੁਹਾਨੂੰ P(A ਜਾਂ B) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿ ਰਹੀ ਹੈ।
P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B) = .65 + .65 − .585 = .715
ਕਾਰਲੋਸ ਸੰਭਾਵਨਾ .715 ਨਾਲ ਪਹਿਲਾ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਗੋਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਕੀ A ਅਤੇ B ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ?
ਹੱਲ
c. ਨਹੀਂ, ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ P(B ਅਤੇ A) = .585।
P(B)P(A) = (.65)(.65) = .423
.423 ≠ .585 = P(B ਅਤੇ A)
So, P(B AND A) is not equal to P(B)P(A).
ਸਮੱਸਿਆ
d. ਕੀ A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹਨ?
ਹੱਲ
d. ਨਹੀਂ, ਉਹ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ P(A ਅਤੇ B) = .585।
ਪਰਸਪਰ ਨਿਵੇਕਲੇ ਹੋਣ ਲਈ, P(A ਅਤੇ B) ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 3.15
ਹੈਲਨ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਖੇਡਦੀ ਹੈ। ਮੁਫ਼ਤ ਥ੍ਰੋਅ ਲਈ, ਉਹ 75 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਟ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਹੈਲਨ ਨੂੰ ਹੁਣ ਦੋ ਮੁਫ਼ਤ ਥ੍ਰੋਅ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ। C = ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਾਟ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(C) = .75। D = ਦੂਜਾ ਸ਼ਾਟ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਘਟਨਾ। P(D) = .75। ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਾਟ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਦੂਜਾ ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ .85 ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਫ੍ਰੀ ਥ੍ਰੋਅ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 3.16
ਇੱਕ ਕਮਿਊਨਿਟੀ ਸਵੀਮ ਟੀਮ ਵਿੱਚ 150 ਮੈਂਬਰ ਹਨ। 75 ਮੈਂਬਰ ਉੱਨਤ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। 47 ਮੈਂਬਰ ਮੱਧਵਰਤੀ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਬਾਕੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਉੱਨਤ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਚਾਲੀ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੱਧਵਰਤੀ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਹ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤੈਰਾਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦਸ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਵੀਮ ਟੀਮ ਦੇ ਇੱਕ ਮੈਂਬਰ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਮੈਂਬਰ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤੈਰਾਕ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
a. 150 ਮੈਂਬਰ ਹਨ; ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 75 ਉੱਨਤ ਹਨ, ਅਤੇ 47 ਮੱਧਵਰਤੀ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ 28 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤੈਰਾਕ ਹਨ। ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਤੈਰਾਕ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 28/150 ਹੈ।
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਵਾਰ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
b. 40 + 30 + 10 150 = 80 150 40 + 30 + 10 150 = 80 150
Problem
c. What is the probability that the member is an advanced swimmer and practices four times a week?
Solution
c. There are 40 advanced swimmers who practice four times per week, so the probability is 40150.40150.
Problem
d. What is the probability that a member is an advanced swimmer and an intermediate swimmer? Are being an advanced swimmer and being an intermediate swimmer mutually exclusive? Why or why not?
Solution
d. P(advanced AND intermediate) = 0, so these are mutually exclusive events. A swimmer cannot be an advanced swimmer and an intermediate swimmer at the same time.
Problem
e. Are being a novice swimmer and practicing four times a week independent events? Why or why not?
Solution
e. No, these are not independent events. P(novice AND practices four times per week) = .0667 P(novice)P(practices four times per week) = .0996 .0667 ≠ .0996
Try It 3.16
A school has 200 seniors of whom 140 will be going to college next year. Forty will be going directly to work. The remainder are taking a gap year. Fifty of the seniors going to college are on their school's sports teams. Thirty of the seniors going directly to work are on their school's sports teams. Five of the seniors taking a gap year are on their schools sports teams. What is the probability that a senior is taking a gap year?
Example 3.17
Felicity attends a school in Modesto, CA. The probability that Felicity enrolls in a math class is .2 and the probability that she enrolls in a speech class is .65. The probability that she enrolls in a math class GIVEN that she enrolls in speech class is .25.
Let M = math class, S = speech class, and M|S = math given speech.
Problem
What is the probability that Felicity enrolls in math and speech? Find P(M AND S) = P(M|S)P(S).
What is the probability that Felicity enrolls in math or speech classes? Find P(M OR S) = P(M) + P(S) − P(M AND S).
Are M and S independent? Is P(M|S) = P(M)?
Are M and S mutually exclusive? Is P(M AND S) = 0?
Solution
a. P(M AND S) = P(M|S)P(S) = .25(.65) = .1625
b. P(M OR S) = P(M) + P(S) − P(M AND S) = .2 + .65 − .1625 = .6875
c. No, P(M|S) = .25 and P(M) = .2.
d. No, P(M AND S) = .1625.
Try It 3.17
A student goes to the library. Let events B = the student checks out a book and D = the student checks out a DVD. Suppose that P(B) = .40, P(D) = .30, and P(D|B) = .5.
Find P(B AND D).
Find P(B OR D).
Example 3.18
Researchers are studying one particular type of disease that affects women more often than men. Studies show that about one woman in seven (approximately 14.3 percent) who live to be 90 will develop the disease. Suppose that of those women who develop this disease, a test is negative 2 percent of the time. Also suppose that in the general population of women, the test for the disease is negative about 85 percent of the time. Let B = woman develops the disease and let N = tests negative. Suppose one woman is selected at random.
Problem
a. What is the probability that the woman develops the disease? What is the probability that woman tests negative?
Solution
a. P(B) = .143; P(N) = .85
Problem
b. Given that the woman develops the disease, what is the probability that she tests negative?
Solution
b. Among women who develop the disease, the test is negative 2 percent of the time, so P(N|B) = .02
Problem
c. What is the probability that the woman has the disease AND tests negative?
Solution
c. P(B AND N) = P(B)P(N|B) = (.143)(.02) = .0029
Problem
d. What is the probability that the woman has the disease OR tests negative?
Solution
d. P(B OR N) = P(B) + P(N) − P(B AND N) = .143 + .85 − .0029 = .9901
Problem
e. Are having the disease and testing negative independent events?
Solution
e. No. P(N) = .85; P(N|B) = .02. So, P(N|B) does not equal P(N).
Problem
f. Are having the disease and testing negative mutually exclusive?
Solution
f. No. P(B AND N) = .0029. For B and N to be mutually exclusive, P(B AND N) must be zero.
Try It 3.18
A school has 200 seniors of whom 140 will be going to college next year. Forty will be going directly to work. The remainder are taking a gap year. Fifty of the seniors going to college are on their school's sports teams. Thirty of the seniors going directly to work are on their school's sports teams. Five of the seniors taking a gap year are on their school's sports teams. What is the probability that a senior is going to college and plays sports?
Example 3.19
Problem
Refer to the information in Example 3.18. P = tests positive.
Given that a woman develops the disease, what is the probability that she tests positive? Find P(P|B) = 1 − P(N|B).
What is the probability that a woman develops the disease and tests positive? Find P(B AND P) = P(P|B)P(B).
What is the probability that a woman does not develop the disease? Find P(B′) = 1 − P(B).
What is the probability that a woman tests positive for the disease? Find P(P) = 1 − P(N).
Solution
a. P(P|B) = 1 − P(N|B) = 1 − .02 = .98
b. P(B AND P) = P(P|B)P(B) = .98(.143) = .1401
c. P(B') = 1 − P(B) = 1 − .143 = .857
d. P(P) = 1 − P(N) = 1 − .85 = .15
Try It 3.19
A student goes to the library. Let events B = the student checks out a book and D = the student checks out a DVD. Suppose that P(B) = .40, P(D) = .30, and P(D|B) = .5.
Find P(B′).
Find P(D AND B).
Find P(B|D).
Find P(D AND B′).
Find P(D|B′).