ਕਿਸੇ ਅਸਤੋਤਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ (discrete random variable) ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (PDF) ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
ਹਰੇਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਸ਼ਾਮਲ (inclusive) ਹੈ (ਸ਼ਾਮਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਹੈ)।
ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਅਸਤੋਤਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਔਸਤ, ਕਿਸੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ (standard deviation) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਭਾਵੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ (binomial experiment) ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ (trials) ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ, n, ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਸੰਭਾਵੀ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਫਲਤਾ ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਅੱਖਰ p ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੱਖਰ q ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ 'ਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
n ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਦੋ-ਪਦੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ (binomial probability distribution) ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ X = n ਸੁਤੰਤਰ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। X ਦਾ ਔਸਤ μ = np ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ σ = npq npq ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਭੂਮਿਤੀ ਪ੍ਰਯੋਗ (geometric experiment) ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਰਨੌਲੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ (Bernoulli trials) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਫਲਤਾ ਹੈ।
ਸਿਧਾਂਤਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰਹਿ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, p, ਅਤੇ ਅਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, q, ਹਰੇਕ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਲਈ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਭੂਮਿਤੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਅਸਤੋਤਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ X ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਫਲਤਾ ਤੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ X ਦਾ ਭੂਮਿਤੀ ਵੰਡ (geometric distribution) ਹੈ ਅਤੇ X ~ G(p) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ p ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਭੂਮਿਤੀ ਵੰਡ X ~ G(p) ਦਾ ਔਸਤ μ = 1−p p 2 1−p p 2 = 1 p ( 1 p −1 ) 1 p ( 1 p −1 ) ਹੈ।
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਭੂਮਿਤੀ ਪ੍ਰਯੋਗ (hypergeometric experiment) ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਹਨ:
ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਨਮੂਨੇ ਲੈਂਦੇ ਹੋ।
ਤੁਸੀਂ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ, ਜਿਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਸਮੂਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹੋ।
ਤੁਸੀਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੀ (without replacement) ਨਮੂਨੇ ਲੈਂਦੇ ਹੋ।
ਹਰੇਕ ਚੋਣ ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਨਮੂਨਾ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੀ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਬਰਨੌਲੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਨਹੀਂ ਰਹੇ ਹੋ।
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਭੂਮਿਤੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਭੂਮਿਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ (hypergeometric probability distribution) ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ X = ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। X ਦੀ ਵੰਡ ਨੂੰ X ~ H(r, b, n) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r = ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਸਮੂਹ (ਪਹਿਲਾ ਸਮੂਹ) ਦਾ ਆਕਾਰ, b = ਦੂਜੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਆਕਾਰ, ਅਤੇ n = ਚੁਣੇ ਗਏ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ n ≤ r + b। X ਦਾ ਔਸਤ μ = nr r + b nr r + b ਹੈ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਾਰ σ = rbn(r + b − n) (r + b) 2 (r + b−1) rbn(r + b − n) (r + b) 2 (r + b−1) ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਅਸਤੋਤਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਲ ਦੀ ਪੋਆਸਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ (Poisson probability distribution) ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ ਜਾਂ ਸਥਾਨ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਔਸਤ ਦਰ 'ਤੇ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਘਟਨਾ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਪੋਆਸਨ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਛੋਟੀ (0.05 ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ) ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੱਡੀ (20 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ) ਹੋਵੇ।