ਚਿੱਤਰ 4.1: ਤੁਸੀਂ ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਦੇ ਤੂਫਾਨ ਦੌਰਾਨ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਪੰਜ ਵਾਰ ਬਿਜਲੀ ਡਿੱਗਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। (ਸਿਹਰਾ: ਲੇਸੇਕ ਲੇਸਜ਼ਕੀਨਸਕੀ)
ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਵੱਖਰੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਸਮਝੋ।
ਉਮੀਦ ਕੀਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਪੋਇਸਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਹਾਈਪਰਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਵੱਖਰੇ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ 10-ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ, ਸੱਚ-ਝੂਠ ਵਾਲੀ ਕਵਿਜ਼ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦਾ ਕਾਰਜਕ੍ਰਮ ਬਹੁਤ ਵਿਅਸਤ ਸੀ, ਉਹ ਹਰ ਜਵਾਬ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਿਆ ਅਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 70 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨਾਲ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਛੋਟੀਆਂ ਕੰਪਨੀਆਂ ਦਿਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਆਪਣੇ ਕਰਮਚਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਲੰਬੀ-ਦੂਰੀ ਦੀਆਂ ਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਲੈ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਔਸਤ 20 ਕਾਲਾਂ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਕਰਮਚਾਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ 20 ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੰਬੀ-ਦੂਰੀ ਦੀਆਂ ਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਇਹ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੱਖਰੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਵੱਖਰੇ ਡਾਟਾ ਉਹ ਡਾਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਹਰ ਦੁਹਰਾਅ ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ X ਜਾਂ Y ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਛੋਟੇ ਅੱਖਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਜਾਂ y ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ X ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ x ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 1: ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਜਾਰ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਗੋਲੀਆਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਨੀਲੀ, ਇੱਕ ਲਾਲ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਿੱਟੀ। ਜਾਰ ਵਿੱਚੋਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇੱਕ ਗੋਲੀ ਕੱਢੋ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਕੱਢੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਾਲ ਗੋਲੀਆਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਿਤ ਗਿਣਤੀ। ਕੱਢਣ ਲਈ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਲਾਲ, ਚਿੱਟਾ, ਅਤੇ ਨੀਲਾ ਹੈ। ਫਿਰ, x = 0,1। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜੋ ਗੋਲੀ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਲਾਲ ਹੈ, ਤਾਂ x = 1; ਨਹੀਂ ਤਾਂ, x = 0।
ਉਦਾਹਰਨ 2: ਮੰਨ ਲਓ X ਸਿਰਫ ਦੋ ਬੱਚਿਆਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਔਰਤ ਬੱਚਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਦੋ ਬੱਚਿਆਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇੱਕ ਬੱਚੇ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬੱਚਿਆਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ। ਦੋ-ਬੱਚਿਆਂ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਦੇ ਲਿੰਗਾਂ ਲਈ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ MM, MF, FM, FF ਹੈ। ਇੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਵੱਡੇ ਬੱਚੇ ਦੇ ਲਿੰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੱਖਰ ਛੋਟੇ ਬੱਚੇ ਦੇ ਲਿੰਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। F ਇੱਕ ਔਰਤ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ M ਇੱਕ ਮਰਦ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, FM ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੱਡਾ ਬੱਚਾ ਇੱਕ ਕੁੜੀ ਹੈ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਬੱਚਾ ਇੱਕ ਮੁੰਡਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ MF ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੱਡਾ ਬੱਚਾ ਇੱਕ ਮੁੰਡਾ ਹੈ ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਬੱਚਾ ਇੱਕ ਕੁੜੀ ਹੈ। ਫਿਰ, x = 0,1,2। ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ 0 ਔਰਤ ਬੱਚੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਮੁੰਡੇ (MM) ਹੋਣ, ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਔਰਤ ਬੱਚਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੰਡਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੁੜੀ (MF ਜਾਂ FM) ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਔਰਤ ਬੱਚੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਬੱਚੇ ਕੁੜੀਆਂ (FF) ਹੋਣ।
ਉਦਾਹਰਨ 3: ਮੰਨ ਲਓ X ਤਿੰਨ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਟਾਸ ਕਰਨ 'ਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਮਿਲਣ ਵਾਲੇ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਟਾਸ ਕਰਨ ਲਈ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ TTT, THH, HTH, HHT, HTT, THT, TTH, HHH ਹੈ। ਇੱਥੇ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਪਹਿਲੇ ਟਾਸ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਅੱਖਰ ਦੂਜੇ ਟਾਸ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ ਅੱਖਰ ਤੀਜੇ ਟਾਸ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। T ਇੱਕ ਟੇਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ H ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, THH ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਟਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੇਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਪਰ ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਟਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ HHT ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਟਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਪਰ ਤੀਜੇ ਟਾਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਟੇਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, x = 0, 1, 2, 3। 0 ਹੈੱਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ TTT ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ THT, TTH, ਜਾਂ HTT ਹੋਵੇ, ਦੋ ਹੈੱਡ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ THH, HTH, ਜਾਂ HHT ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਹੈੱਡ ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ HHH ਹੋਵੇ।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਕਸਰਤ
ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ 10 ਵਾਰ ਟਾਸ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਰਿਕਾਰਡ ਕਰੋ। ਜਮਾਤ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੈਂਬਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਯੋਗ (ਸਿੱਕਾ 10 ਵਾਰ ਟਾਸ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣਨਾ) ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਟੇਬਲ 4.1 ਭਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ X ਸਿੱਕੇ ਦੇ 10 ਟਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈੱਡਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: x | x ਦੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | x ਦੀ ਸਾਪੇਖਿਕ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ
x ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ (ਮੁੱਲ) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਵਾਪਰਿਆ?
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਿੱਕਾ 1,000 ਵਾਰ ਟਾਸ ਕਰਦੇ, ਤਾਂ x ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਸੀ? ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੀ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ x ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ (ਮੁੱਲ) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਵਾਪਰੇਗਾ?
ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਾਲਾ ਕਾਲਮ ਕਿੰਨਾ ਜੋੜ ਬਣਦਾ ਹੈ?