ਪੋਆਸਨ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਦੋ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ।
ਪੋਆਸਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ, ਸਮੇਂ ਜਾਂ ਸਥਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਔਸਤ ਦਰ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਘਟਨਾ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਸੰਪਾਦਕ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਗਲਤ ਲਿਖੇ ਗਏ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਔਸਤਨ, 100 ਪੰਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪੰਜ ਸ਼ਬਦ ਗਲਤ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹੋਣ। ਅੰਤਰਾਲ 100 ਪੰਨੇ ਹਨ।
ਬਾਇਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਪੋਆਸਨ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਛੋਟੀ ਹੋਵੇ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ .01) ਅਤੇ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੱਡੀ ਹੋਵੇ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ 1,000)। ਤੁਸੀਂ ਹੋਮਵਰਕ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋਗੇ। n ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ p ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ।
ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ X = ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.25
ਬੇਕਰੀ ਵਿੱਚ ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ 12 ਹੈ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, ਬੇਤਰਤੀਬ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ, ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ। ਜੇ 30 ਮਿੰਟਾਂ (ਅੱਧੇ ਘੰਟੇ) ਵਿੱਚ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ 12 ਹੈ, ਤਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈਲਫ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੋਟੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ (5/30)(12) = 2 ਰੋਟੀਆਂ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਤੁਹਾਨੂੰ P(x = 3) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.25
ਇੱਕ ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਫੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ ਅੱਠ ਹੈ। ਦਿਲਚਸਪੀ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਫੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ 15 ਮਿੰਟ ਹੈ। 15 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਫੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਸੰਖਿਆ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 4.26
ਸਮੱਸਿਆ
ਇੱਕ ਬੈਂਕ ਨੂੰ ਔਸਤਨ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਛੇ ਖਰਾਬ ਚੈੱਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਬੈਂਕ ਨੂੰ ਪੰਜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਖਰਾਬ ਚੈੱਕ ਮਿਲਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? ਦਿਲਚਸਪੀ ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਬੈਂਕ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਚੈੱਕਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਇੱਕ ਦਿਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ X = ਇੱਕ ਦਿਨ ਵਿੱਚ ਬੈਂਕ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਖਰਾਬ ਚੈੱਕਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ। ਜੇ ਬੈਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਛੇ ਖਰਾਬ ਚੈੱਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ ਤਾਂ ਔਸਤ ਛੇ ਚੈੱਕ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਕਥਨ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
P(x < 5)
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 4.26
ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਿਕਸ ਸਟੋਰ ਨੂੰ ਔਸਤਨ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 10 ਵਾਪਸੀ ਦੀ ਉਮੀਦ ਹੈ। ਮੈਨੇਜਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਸਟੋਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਤੋਂ ਘੱਟ ਵਾਪਸੀ ਮਿਲਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.27
ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਊਜ਼ ਰਿਪੋਰਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਪ੍ਰਸਾਰਣ ਔਸਤਨ ਦੋ ਵਾਰ "ਅਹ" ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀ ਪ੍ਰਸਾਰਣ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ "ਅਹ" ਕਹਿਣ ਵਾਲੇ ਨਿਊਜ਼ ਰਿਪੋਰਟਰ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਇਹ ਇੱਕ ਪੋਆਸਨ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਾਰਣ ਦੌਰਾਨ ਨਿਊਜ਼ ਰਿਪੋਰਟਰ ਦੁਆਰਾ "ਅਹ" ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਮਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਣਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋ।
ਸਮੱਸਿਆ
a. ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
a. ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਾਰਣ
ਸਮੱਸਿਆ
b. ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਾਰਣ ਦੌਰਾਨ ਖ਼ਬਰਾਂ ਦੇ ਪੱਤਰਕਾਰ ਦੁਆਰਾ "ਅਹ" ਸ਼ਬਦ ਕਿੰਨੀ ਔਸਤ ਵਾਰ ਬੋਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
b. 2
ਸਮੱਸਿਆ
c. ਮੰਨ ਲਓ X = ________. X ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
c. ਮੰਨ ਲਓ X = ਖ਼ਬਰਾਂ ਦੇ ਪੱਤਰਕਾਰ ਦੁਆਰਾ "ਅਹ" ਸ਼ਬਦ ਬੋਲਣ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। x = 0, 1, 2, 3, . . .
ਸਮੱਸਿਆ
d. ਸੰਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹੈ P(______).
ਹੱਲ
d. P(x > 2)
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 4.27
ਇੱਕ ਖਾਸ ਹਸਪਤਾਲ ਦਾ ਐਮਰਜੈਂਸੀ ਰੂਮ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਔਸਤਨ ਪੰਜ ਮਰੀਜ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਾਕਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਐਮਰਜੈਂਸੀ ਰੂਮ ਵਿੱਚ ਪੰਜ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਰੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਾਰੇ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਪੁਆਸਨ ਵੰਡ (Poisson distribution) ਹੋਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।
ਪੁਆਸਨ ਲਈ ਸੰਕੇਤ: P = ਪੁਆਸਨ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ
X ~ P(μ)
ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੜ੍ਹੋ ਕਿ X ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਪੁਆਸਨ ਵੰਡ ਹੈ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ μ (ਜਾਂ λ) ਹੈ; μ (ਜਾਂ λ) = ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਲਈ ਔਸਤ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.28
ਲੀਆ ਦੀ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਵਾਲੀ ਮਸ਼ੀਨ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ ਤੋਂ 10 ਵਜੇ ਤੱਕ ਲਗਭਗ ਛੇ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅਗਲੇ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਲੀਆ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ X = ਲੀਆ ਦੁਆਰਾ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ। ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ 15 ਮਿੰਟ ਜਾਂ 1/4 ਘੰਟਾ ਹੈ।
x = 0, 1, 2, 3, . . .
ਜੇਕਰ ਲੀਆ ਨੂੰ ਦੋ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ ਛੇ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਅੱਠ 15-ਮਿੰਟ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੀਆ ਨੂੰ 15 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਔਸਤਨ
(1/8)(6) = .75 ਕਾਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ μ = .75 ਹੈ।
X ~ P(.75)
Find P(x > 1). P(x > 1) = .1734 (calculator or computer)
The TI calculators use λ (lambda) for the mean.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
Press 1 – and then press 2nd DISTR.
Arrow down to poissoncdf. Press ENTER.
Enter (.75,1).
The result is P(x > 1) = .1734.
The probability that Leah receives more than one telephone call in the next 15 minutes is about .1734 or P(x > 1) = 1 − poissoncdf(.75, 1).
The graph of X ~ P(.75) is
The y-axis contains the probability of x where X = the number of calls in 15 minutes.
Try It 4.28
A customer service center receives about 10 emails every half-hour. What is the probability that the customer service center receives more than four emails in the next six minutes? Use the TI-83+ or TI-84 calculator to find the answer.
Example 4.29
According to Baydin, an email management company, an email user gets, on average, 147 emails per day. Let X = the number of emails an email user receives per day. The discrete random variable X takes on the values x = 0, 1, 2 . . . . The random variable X has a Poisson distribution: X ~ P(147). The mean is 147 emails.
Problem
What is the probability that an email user receives exactly 160 emails per day?
What is the probability that an email user receives at most 160 emails per day?
What is the standard deviation?
Solution
P(x = 160) = poissonpdf(147, 160) ≈ .0180
P(x ≤ 160) = poissoncdf(147, 160) ≈ .8666
Standard Deviation = σ= μ = 147 ≈12.1244 σ= μ = 147 ≈12.1244
Try It 4.29
According to a recent poll girls between the ages of 14 and 17 send an average of 187 text messages each day. Let X = the number of texts that a girl aged 14 to 17 sends per day. The discrete random variable X takes on the values x = 0, 1, 2 …. The random variable X has a Poisson distribution: X ~ P(187). The mean is 187 text messages.
What is the probability that a teen girl sends exactly 175 texts per day?
What is the probability that a teen girl sends at most 150 texts per day?
What is the standard deviation?
Example 4.30
Text message users receive or send an average of 41.5 text messages per day.
Problem
How many text messages does a text message user receive or send per hour?
What is the probability that a text message user receives or sends two messages per hour?
What is the probability that a text message user receives or sends more than two messages per hour?
Solution
Let X = the number of texts that a user sends or receives in one hour. The average number of texts received per hour is 41.5 24 41.5 24 ≈ 1.7292.
X ~ P(1.7292), so P(x = 2) = poissonpdf(1.7292, 2) ≈ .2653
P(x > 2) = 1 – P(x ≤ 2) = 1 – poissoncdf(1.7292, 2) ≈ 1 – .7495 = .2505
Try It 4.30
Scientists recently researched the busiest airport in the world. On average, there are 2,500 arrivals and departures each day.
How many airplanes arrive and depart the airport per hour?
What is the probability that there are exactly 100 arrivals and departures in one hour?
What is the probability that there are at most 100 arrivals and departures in one hour?
Example 4.31
Problem
On May 13, 2013, starting at 4:30 p.m., the probability of low seismic activity for the next 48 hours in Alaska was reported as about 1.02 percent. Use this information for the next 200 days to find the probability that there will be low seismic activity in 10 of the next 200 days. Use both the binomial and Poisson distributions to calculate the probabilities. Are they close?
Solution
Let X = the number of days with low seismic activity. We are asked to find the probability over the next 200 days. Probability is given for a 48-hour period.
n = 200 days = 100 48-hour periods
Using the binomial distribution
1. P(x = 10) = ਬਾਈਨੋਮਪੀਡੀਐਫ(100, .0102, 10) ≈ .0000000076
2. ਪੋਆਸਨ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
3. μ = np = 100(.0102) ≈ 1.02 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
4. P(x = 10) = ਪੋਆਸਨਪੀਡੀਐਫ(1.02, 10) ≈ .000000121
5. ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨ ਚੰਗਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ n ਵੱਡਾ ਹੈ (20 ਤੋਂ ਵੱਧ) ਅਤੇ p ਛੋਟਾ ਹੈ (0.05 ਤੋਂ ਘੱਟ)। ਨਤੀਜੇ ਨੇੜੇ ਹਨ—ਦੋਵੇਂ ਦੱਸੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਲਗਭਗ 0 ਹਨ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 4.31
7. 13 ਮਈ, 2013 ਨੂੰ, ਸ਼ਾਮ 4:30 ਵਜੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ, ਜਾਪਾਨ ਦੇ ਤੱਟ 'ਤੇ ਕੁਰਿਲ ਟਾਪੂਆਂ ਵਿੱਚ ਅਗਲੇ 48 ਘੰਟਿਆਂ ਲਈ ਦਰਮਿਆਨੀ ਭੂਚਾਲ ਗਤੀਵਿਧੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 1.43 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੱਸੀ ਗਈ ਸੀ। ਅਗਲੇ 100 ਦਿਨਾਂ ਲਈ 5 ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਭੂਚਾਲ ਗਤੀਵਿਧੀ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਅਤੇ ਪੋਆਸਨ ਦੋਵੇਂ ਵੰਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕੀ ਉਹ ਨੇੜੇ ਹਨ?