5.1: ਇਹਨਾਂ ਮੂਲੀ ਦੇ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹਨ। (ਸਿਹਰਾ: ਰੇਵ ਸਟੈਨ)
ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਸਮਝਣਾ
ਇਕਸਾਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਘਾਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਚਿਤ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਬੇਸਬਾਲ ਬੈਟਿੰਗ ਔਸਤ, IQ ਸਕੋਰ, ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਟੈਲੀਫੋਨ ਕਾਲ ਦਾ ਸਮਾਂ, ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਲ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਚਿੱਪ ਦਾ ਜੀਵਨ ਕਾਲ, ਅਤੇ SAT ਸਕੋਰ ਕੁਝ ਕੁ ਹਨ। ਭਰੋਸੇਯੋਗਤਾ ਦਾ ਖੇਤਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ
ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਅਸਪਸ਼ਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ X ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਈ ਗਈ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ (ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਮੀਲ ਤੱਕ) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮੀਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਜੇਕਰ X ਕੰਮ 'ਤੇ ਜਾਣ ਲਈ ਤੁਹਾਡੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ X ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਦੇ ਹੋ ਅਤੇ X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਬੈਕਪੈਕ ਵਿੱਚ ਕਿਤਾਬਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਡਿਸਕ੍ਰਿਟ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ X ਇੱਕ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਭਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ X ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਭਾਰ ਮਾਪੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਕਰ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ pdf) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਕ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। f(x) ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ cdf) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਨਤੀਜੇ ਗਿਣੇ ਨਹੀਂ, ਬਲਕਿ ਮਾਪੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਾਰਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਅਕਤੀਗਤ x ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ x ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਪਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
P(c < x < d) ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ X, c ਅਤੇ d ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੈ। P(c < x < d) ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ, c ਦੇ ਸੱਜੇ ਅਤੇ d ਦੇ ਖੱਬੇ ਖੇਤਰ ਹੈ।
P(x = c) = 0 x ਦੁਆਰਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ, ਅਤੇ x = c ਅਤੇ x = c ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੀ ਕੋਈ ਚੌੜਾਈ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕੋਈ ਖੇਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਖੇਤਰ = 0)। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।
P(c < x < d) P(c ≤ x ≤ d) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ, ਤਕਨਾਲੋਜੀ, ਜਾਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਟੇਬਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜੋ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਏ ਗਏ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਕੋਰਸ ਨੂੰ ਲੈ ਰਹੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਤੀ ਗਈ ਵੰਡ ਨੂੰ ਉਸ ਖਾਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਅਤੇ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਅਤੇ ਅਗਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕਸਾਰ ਵੰਡ, ਘਾਤੀ ਵੰਡ, ਅਤੇ ਆਮ ਵੰਡ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਇਹਨਾਂ ਵੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ:
5.2: ਗ੍ਰਾਫ x = 3 ਅਤੇ x = 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕਸਾਰ ਵੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਛੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
5.3: ਗ੍ਰਾਫ x = 2 ਅਤੇ x = 4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘਾਤੀ ਵੰਡ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਯਾਦ੍ਰਿਛਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਦੋ ਅਤੇ ਚਾਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
5.4 ਚਿੱਤਰ: ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮਿਆਰੀ ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x = 1 ਅਤੇ x = 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਯਾਦ੍ਰਿਕ ਵੇਰੀਏਬਲ X ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਛਾਂਕਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।