ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੱਧਵਰਤੀ ਅਲਜਬਰਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਤੁਹਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਰਸਮੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਇੱਕ ਹੈ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਹੈ। ਨਿਰੰਤਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡਾਂ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਨਾ = ਖੇਤਰਫਲ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.1
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। x ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। f(x) = 1/20 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ 0 ≤ x ≤ 20, f(x) ਨੂੰ x = 0 ਅਤੇ x = 20 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20 ਲਈ।
f(x) = 1/20 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 0 ≤ x ≤ 20 ਲਈ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ।
f(x) = 1/20 ਜਿੱਥੇ 0 ≤ x ≤ 20 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ = 20 ਅਤੇ ਉਚਾਈ = 1/20 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ f(x) = 1/20 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ 0 < x < 2।
ਖੇਤਰਫਲ = (2 – 0)(1/20) = 0.1 ਖੇਤਰਫਲ = (2 – 0)(1/20) = 0.1
(2 – 0) = 2 = ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਆਧਾਰ (2 – 0) = 2 = ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਆਧਾਰ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ
ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = (ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)
ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਿ x ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਦੋ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ 0.1 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ f(x) = 1/20 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ 4 < x < 15।
ਖੇਤਰਫਲ = (15 – 4)(1/20) = 0.55 ਖੇਤਰਫਲ = (15 – 4)(1/20) = 0.55
(15 – 4) = 11 = ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਆਧਾਰ (15 – 4) = 11 = ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਆਧਾਰ
ਖੇਤਰਫਲ ਸੰਭਾਵਨਾ P(4 < x < 15) = 0.55 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ P(x = 15) ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ x-y ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ, x = 15 ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕੋਈ ਚੌੜਾਈ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ (ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਚੌੜਾਈ)। ਇਸ ਲਈ, P(x = 15) = (ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ) = (0)(1/20) = 0
P(X ≤ x), ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਲਈ P(X < x) ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਸੰਚਤ ਵੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ CDF ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ P(X > x) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ CDF ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। CDF ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P(X > x) ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਾਂ ਲਈ P(X > x) ਦੀ ਗਣਨਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: P(X > x) = 1 – P(X < x)।
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ f(x) ਅਤੇ x ਨਾਲ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ x ਅਤੇ y ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸਕੇਲ ਕਰੋ। f(x) = 1/20, 0 ≤ x ≤ 20।
ਇਹ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ x ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੋ। x = 2.3 ਅਤੇ x = 12.7 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
P(2.3<x<12.7)=(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)=(12.7−2.3)(1/20)=0.52 P(2.3<x<12.7)=(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ)=(12.7−2.3)(1/20)=0.52
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 5.1
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/8, 0 ≤ x ≤ 8 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ P(2.5 < x < 7.5) ਲੱਭੋ।