ਅੰਕੜੇ ਕਦੇ ਵੀ ਬਿਲਕੁਲ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੇ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਮੋਟੇ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ 'ਬੈਸਟ ਫਿਟ' ਰੇਖਾ ਜਾਂ 'ਲੀਸਟ-ਸਕੁਏਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ' ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਕਸਰਤ
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਉਂਗਲ (ਗੁਲਾਬੀ ਉਂਗਲ) ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਜਾਣਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਉਸ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਆਪਣੇ ਜਮਾਤੀਆਂ ਤੋਂ ਅੰਕੜੇ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ (ਗੁਲਾਬੀ ਉਂਗਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ)। ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ, x, ਗੁਲਾਬੀ ਉਂਗਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ, y, ਉਚਾਈ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅੰਕੜੇ ਦੇ ਸਮੂਹ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਪੇਪਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੂਲਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਅੱਖਾਂ ਨਾਲ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਜੋ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਜਾਪਦੀ ਹੈ। ਆਪਣੀ ਰੇਖਾ ਲਈ, ਦੋ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ (ਸਲੋਪ) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਆਪਣੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ y-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਲਈ ਵਧਾ ਕੇ ਰੇਖਾ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ। ਢਲਾਨ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਆਪਣੀ 'ਬੈਸਟ ਫਿਟ' ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਕਿਸੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨੁਸਾਰ, 2.5 ਇੰਚ ਦੀ ਗੁਲਾਬੀ ਉਂਗਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ?
ਉਦਾਹਰਨ 12.5
11 ਸਟੈਟਿਸਟਿਕਸ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨੇ ਨੇ ਟੇਬਲ 12.1 ਵਿੱਚ ਅੰਕੜੇ ਦਿੱਤੇ, ਜਿੱਥੇ x 80 ਵਿੱਚੋਂ ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ ਹੈ ਅਤੇ y 200 ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੇ ਸਕੋਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ ਜਾਣਦੇ ਹੋ?
ਰੋ: x (ਤੀਜਾ ਇਮਤਿਹਾਨ ਸਕੋਰ) | y (ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਸਕੋਰ)
ਰੋ: 65 | 175
ਰੋ: 67 | 133
ਰੋ: 71 | 185
ਰੋ: 71 | 163
ਰੋ: 66 | 126
ਰੋ: 75 | 198
ਰੋ: 67 | 153
ਰੋ: 70 | 163
ਰੋ: 71 | 159
ਰੋ: 69 | 151
ਰੋ: 69 | 159
ਚਿੱਤਰ 12.5: ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ x ਅਤੇ y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੇ ਸਕੋਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੇ ਸਕੋਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 12.5
SCUBA ਡਾਈਵਰਾਂ ਕੋਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਈਵ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਉਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਡੂੰਘਾਈਆਂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਲੰਘ ਸਕਦੇ। ਟੇਬਲ 12.2 ਵਿੱਚ ਅੰਕੜੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਡੂੰਘਾਈਆਂ ਨੂੰ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਈਵ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਲੀਸਟ ਸਕੁਏਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਲਾਈਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ 110 ਫੁੱਟ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਈਵ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਰੋ: x (ਡੂੰਘਾਈ) | y (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਈਵ ਸਮਾਂ)
ਰੋ: 50 | 80
ਰੋ: 60 | 55
ਰੋ: 70 | 45
1. ਕਤਾਰ: 80 | 35
2. ਕਤਾਰ: 90 | 25
3. ਕਤਾਰ: 100 | 22
4. ਤੀਜਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ, x, ਸੁਤੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ, y, ਨਿਰਭਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਢੰਗ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਾਂਗੇ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੱਖਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦਾ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚਦੇ। ਅਸੀਂ ਮੱਧਕ-ਮੱਧਕ ਰੇਖਾ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਵਰਗ ਰੀਗਰੈਸ਼ਨ ਰੇਖਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਫਿੱਟ ਰੇਖਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
5. ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਤੀਜੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਲਈ ਮੱਧਕ-ਮੱਧਕ ਰੇਖਾ ਪਹੁੰਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਫਿੱਟ ਰੇਖਾ ਲੱਭੀਏ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ 12.5 ਦਾ ਡਾਟਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ x ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰ ਕਰਕੇ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕੋ x ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਕਈ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਵੱਧ x ਤੱਕ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਜਿੱਥੇ x = 71 ਹੈ, ਉੱਥੇ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਪਣੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ x ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਤਿੰਨ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ x ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ x ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚੜ੍ਹਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸੰਬੰਧਿਤ y ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਮੱਧਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ y ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 12.3 x ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਹੀ ਆਰਡਰਿੰਗ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਪਰ y ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਮੁੜ-ਆਰਡਰਿੰਗ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ।
6. ਕਤਾਰ: x (ਤੀਜੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ) | y (ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ)
7. ਕਤਾਰ: 65 | 175
8. ਕਤਾਰ: 66 | 126
9. ਕਤਾਰ: 67 | 133
10. ਕਤਾਰ: 67 | 153
11. ਕਤਾਰ: 69 | 151
12. ਕਤਾਰ: 69 | 159
13. ਕਤਾਰ: 70 | 163
14. ਕਤਾਰ: 71 | 159
15. ਕਤਾਰ: 71 | 163
16. ਕਤਾਰ: 71 | 185
17. ਕਤਾਰ: 75 | 198
18. ਇਸ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟ ਨਾਲ, ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਚਾਰ x ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਚਾਰ ਸੰਬੰਧਿਤ y ਮੁੱਲ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ x ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸੰਬੰਧਿਤ y ਮੁੱਲ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਮੂਹ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਮੱਧਕ x ਅਤੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਸਾਡੇ y ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚੜ੍ਹਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ। ਸਮੂਹ 1 ਲਈ, ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ y ਮੁੱਲ 126, 133, 153, ਅਤੇ 175 ਹਨ। ਸਮੂਹ 2 ਲਈ, y ਮੁੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਸਮੂਹ 3 ਲਈ, y ਮੁੱਲ ਵੀ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 12.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਤੋੜ ਦਿੱਤਾ ਹੈ; (65, 126) ਸਾਡੇ ਮੂਲ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟ ਨਹੀਂ ਹੈ:
19. ਕਤਾਰ: ਸਮੂਹ | x (ਤੀਜੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ) | y (ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਅੰਕ) | ਮੱਧਕ x ਮੁੱਲ | ਮੱਧਕ y ਮੁੱਲ
20. ਕਤਾਰ: 1 | 65666767 | 126133153175 | 66.5 | 143
21. ਕਤਾਰ: 2 | 696970 | 151159163 | 69 | 159
22. ਕਤਾਰ: 3 | 71717175 | 159163185198 | 71 | 174
23. ਜਦੋਂ ਇਹ ਪੂਰਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੱਧਕ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ –ਮੱਧਕ-ਮੱਧਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
24. ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (66.5, 143), (69, 159), ਅਤੇ (71, 174) ਹਨ।
The slope can be calculated using the formula m− y 2 − y 1 x 2 − x 1 . m− y 2 − y 1 x 2 − x 1 . Substituting the median x and y values from the first and third groups gives m= 174−143 71−66.5 , m= 174−143 71−66.5 , which simplifies to m≈ 6.9 . m≈ 6.9 .
The y-intercept may be found using the formula b= Σy−mΣx 3 b= Σy−mΣx 3, which means the quantity of the sum of the median y values minus the slope times the sum of the median x values divided by three.
The sum of the median x values is 206.5, and the sum of the median y values is 476. Substituting these sums and the slope into the formula gives b= 476−6.9(206.5) 3 b= 476−6.9(206.5) 3, which simplifies to b≈−316.3 . b≈−316.3 .
The line of best fit is represented as y=mx+b . y=mx+b .
Thus, the equation can be written as y = 6.9x − 316.3.
The median–median line may also be found using your graphing calculator. You can enter the x and y values into two separate lists; choose Stat, Calc, Med-Med, and press Enter. The slope, a, and y-intercept, b, will be provided. The calculator shows a slight deviation from the previous manual calculation as a result of rounding. Rounding to the nearest tenth, the calculator gives the –median-median line of y=6.9x−315.5 . y=6.9x−315.5 . Each point of data is of the the form (x, y), and each point of the line of best fit using least-squares linear regression has the form (x, ŷ).
The ŷ is read y hat and is the estimated value of y. It is the value of y obtained using the regression line. It is not generally equal to y from data, but it is still important because it can help make predictions for other values.
The term y0 – ŷ0 = ε0 is called the error or residual. It is not an error in the sense of a mistake. The absolute value of a residual measures the vertical distance between the actual value of y and the estimated value of y. In other words, it measures the vertical distance between the actual data point and the predicted point on the line, or it measures how far the estimate is from the actual data value.
If the observed data point lies above the line, the residual is positive and the line underestimates the actual data value for y. If the observed data point lies below the line, the residual is negative and the line overestimates that actual data value for y.
In Figure 12.6, y0 – ŷ0 = ε0 is the residual for the point shown. Here the point lies above the line and the residual is positive.
ε = the Greek letter epsilon
For each data point, you can calculate the residuals or errors, yi – ŷi = εi for i = 1, 2, 3, . . . , 11.
Each |ε| is a vertical distance.
For the example about the third exam scores and the final exam scores for the 11 statistics students, there are 11 data points. Therefore, there are 11 ε values. If you square each ε and add them, you get the sum of ε squared from i = 1 to i = 11, as shown below.
( ε 1 ) 2 + ( ε 2 ) 2 +...+ ( ε 11 ) 2 = Σ i = 1 11 ε 2 . ( ε 1 ) 2 + ( ε 2 ) 2 +...+ ( ε 11 ) 2 = Σ i = 1 11 ε 2 .
This is called the sum of squared errors (SSE).
Using calculus, you can determine the values of a and b that make the SSE a minimum. When you make the SSE a minimum, you have determined the points that are on the line of best fit. It turns out that the line of best fit has the equation
where
a= y ¯ −b x ¯ a= y ¯ −b x ¯
and b= ∑( x− x ¯ )( y− y ¯ ) ∑ ( x− x ¯ ) 2 b= ∑( x− x ¯ )( y− y ¯ ) ∑ ( x− x ¯ ) 2.
The sample means of the x values and the y values are x ¯ x ¯ and y ¯ y ¯, respectively. The best-fit line always passes through the point ( x ¯ , y ¯ ) ( x ¯ , y ¯ ).
The slope (b) can be written as b=r( s y s x ) b=r( s y s x ) where sy = the standard deviation of the y values and sx = the standard deviation of the x values. r is the correlation coefficient, which shows the relationship between the x and y values. This will be discussed in more detail in the next section.
Least-Squares Criteria for Best Fit
The process of fitting the best-fit line is called linear regression. We assume that the data are scattered about a straight line. To find that line, we minimize the sum of the squared errors (SSE), or make it as small as possible. Any other line you might choose would have a higher SSE than the best-fit line. This best-fit line is called the least-squares regression line.
ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਪ੍ਰੈਡਸ਼ੀਟਾਂ, ਅੰਕੜਾ ਸੌਫਟਵੇਅਰ, ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹੱਥੀਂ ਕਰਨ 'ਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਥਕਾਊ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ TI-83, TI-83+, ਅਤੇ TI-84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਲੱਭਣ ਅਤੇ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਦਾਇਤਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਤੀਜਾ ਇਮਤਿਹਾਨ ਬਨਾਮ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਉਦਾਹਰਨ
ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ/ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ/ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ-ਵਰਗ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ ਲਾਈਨ (ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
ਲਾਈਨ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, a, ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਲਾਟ ਲਾਈਨ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਸਾਨੂੰ x ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣ 'ਤੇ ਸਬੰਧ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਮੁੱਲ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ x = 0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ y ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਬਨਾਮ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ, ਜਾਂ x, ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਸਕੋਰ ਪਾਸਿੰਗ ਗ੍ਰੇਡ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਸਮੂਹਿਤ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਕੋਈ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਤੀਜਾ ਇਮਤਿਹਾਨ ਜ਼ੀਰੋ ਸੀ ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ, ਜਾਂ y, ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਲਈ, y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਬੇਸਲਾਈਨ ਰੀਡਿੰਗ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਕ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬੇਸਲਾਈਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਯੋਗਾਤਮਕ ਸਥਿਤੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਉਪਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਕੈਲੀਬਰੇਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਦੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਸਾਇਣਕ ਅਸੇਅਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿੰਨੇ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਰੰਗ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇਗਾ, ਰੰਗ ਓਨਾ ਹੀ ਗੂੜ੍ਹਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਰੰਗ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਅਬਸੋਰਬੈਂਸ ਰੀਡਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟੇਬਲ 12.5 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਇਕਾਗਰਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਅਬਸੋਰਬੈਂਸ ਰੀਡਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਅਸੇਅਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕਰਵ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਰੋਅ: ਇਕਾਗਰਤਾ (mM) | ਅਬਸੋਰਬੈਂਸ (mAU)
ਰੋਅ: 125 | 0.021
ਰੋਅ: 250 | 0.023
ਰੋਅ: 500 | 0.068
ਰੋਅ: 750 | 0.086
ਰੋਅ: 1,000 | 0.105
ਰੋਅ: 1,500 | 0.124
ਰੋਅ: 2,000 | 0.146
ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਫਿਗਰ 12.8 ਵਿੱਚ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਇਸ ਲਾਈਨ ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 0.0226 mAU 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਤਾਂ ਅਸੇਅਰ 0.0226 mAU ਦੀ ਰੀਡਿੰਗ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਨੀ, ਇਹ ਬੇਸਲਾਈਨ ਰੀਡਿੰਗ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਕਾਰਨ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਕੁਝ ਹੋਰ ਗੈਰ-ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਰਸਾਇਣ ਹਨ ਜੋ ਰੋਸ਼ਨੀ ਨੂੰ ਸੋਖ ਰਹੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ। ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪ੍ਰੋਟੀਨ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਬਸੋਰਬੈਂਸ ਵੀ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀ, ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਵੇਗੀ।
ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ, b, ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਡਾਟਾ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਾਦੀ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵਾਕ ਲਿਖਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਢਲਾਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ: ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ (x) ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵਾਧੇ ਲਈ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (y) ਔਸਤਨ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਤੀਜਾ ਇਮਤਿਹਾਨ ਬਨਾਮ ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਉਦਾਹਰਨ ਢਲਾਨ: ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ b = 4.83 ਹੈ। ਵਿਆਖਿਆ: ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੇ ਸਕੋਰ ਵਿੱਚ 1-ਪੁਆਇੰਟ ਦੇ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦਾ ਸਕੋਰ ਔਸਤਨ 4.83 ਅੰਕ ਵਧਦਾ ਹੈ।
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਲੀਨੀਅਰ ਰਿਗਰੈਸ਼ਨ T ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ: LinRegTTest
In the STAT list editor, enter the x data in list L1 and the y data in list L2, paired so that the corresponding (x, y) values are next to each other in the lists. (If a particular pair of values is repeated, enter it as many times as it appears in the data.)
On the STAT TESTS menu, scroll down and select LinRegTTest. (Be careful to select LinRegTTest. Some calculators may also have a different item called LinRegTInt.)
On the LinRegTTest input screen, enter Xlist: L1, Ylist: L2, and Freq: 1.
On the next line, at the prompt β or ρ, highlight ≠ 0 and press ENTER.
Leave the line for RegEQ: blank.
Highlight Calculate and press ENTER.
The output screen contains a lot of information. For now, let’s focus on a few items from the output and return to the other items later. The second line says y = a + bx. Scroll down to find the values a = –173.513 and b = 4.8273.
The equation of the best-fit line is ŷ = –173.51 + 4.83x. The two items at the bottom are r2 = .43969 and r = .663. For now, just note where to find these values; we examine them in the next two sections.
Graphing the Scatter Plot and Regression Line
We are assuming the x data are already entered in list L1 and the y data are in list L2.
Press 2nd STATPLOT ENTER to use Plot 1.
On the input screen for PLOT 1, highlight On, and press ENTER.
For TYPE, highlight the first icon, which is the scatter plot, and press ENTER.
Indicate Xlist: L1 and Ylist: L2.
For Mark, it does not matter which symbol you highlight.
Press the ZOOM key and then the number 9 (for menu item ZoomStat); the calculator fits the window to the data.
To graph the best-fit line, press the Y= key and type the equation –173.5 + 4.83X into equation Y1. (The X key is immediately left of the STAT key.) Press ZOOM 9 again to graph it.
Optional: If you want to change the viewing window, press the WINDOW key. Enter your desired window using Xmin, Xmax, Ymin, and Ymax.
NOTE
Another way to graph the line after you create a scatter plot is to use LinRegTTest.
Make sure you have done the scatter plot. Check it on your screen.
Go to LinRegTTest and enter the lists.
At RegEq, press VARS and arrow over to Y-VARS. Press 1 for 1:Function. Press 1 for 1:Y1. Then, arrow down to Calculate and do the calculation for the line of best fit.
Press Y= (you will see the regression equation).
Press GRAPH, and the line will be drawn.
ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ r
ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਅਤੇ ਇਹ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਾਜਬ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨਕ ਹੈ? ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੂਚਕ (ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਵਜੋਂ ਵਰਤੋਂ।
ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ, r, ਜਿਸਨੂੰ 1900 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕਾਰਲ ਪੀਅਰਸਨ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ y ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਦੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਮਾਪ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਦਾ ਸ਼ੱਕ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ r ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਦੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪ ਸਕਦਾ ਹੈ।
r ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
r ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ –1 ਅਤੇ +1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, –1 ≤ r ≤ 1।
ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ r ਦਾ ਆਕਾਰ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਦੀ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। r ਦੇ ਮੁੱਲ –1 ਜਾਂ +1 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਜੇਕਰ r = 0, ਤਾਂ x ਅਤੇ y ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਰੇਖੀ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਕੋਈ ਰੇਖੀ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਨਹੀਂ)।
ਜੇਕਰ r = 1, ਤਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਹੈ। ਜੇਕਰ r = –1, ਤਾਂ ਸੰਪੂਰਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪੈਂਦੇ ਹਨ। ਬੇਸ਼ੱਕ, ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
r ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਾ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
r ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y ਵਧਣ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y ਘਟਣ ਲੱਗਦਾ ਹੈ (ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ)।
r ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y ਘਟਣ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y ਵਧਣ ਲੱਗਦਾ ਹੈ (ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ)।
r ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ, b, ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਨੋਟ
ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਮਾਤਰਾ, ਸਾਰੇ ਨੂੰ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ, ਗੁਣਾ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ, ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ n ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 12.10: (a) ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਜੋ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਵਾਲਾ ਡਾਟਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ: 0 < r < 1। (b) ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਜੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਵਾਲਾ ਡਾਟਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ: –1 < r < 0। (c) ਇੱਕ ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਵਾਲਾ ਡਾਟਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ: r = 0।
r ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਭਿਆਨਕ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਸਪਰੈਡਸ਼ੀਟ, ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਸੌਫਟਵੇਅਰ, ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ r ਨੂੰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ, r, TI-83, TI-83+, ਜਾਂ TI-84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ LinRegTTest ਲਈ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸਕ੍ਰੀਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀ ਆਈਟਮ ਹੈ (ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹਦਾਇਤਾਂ ਲਈ ਦੇਖੋ)।
ਨਿਰਧਾਰਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ
ਵੇਰੀਏਬਲ r2 ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਦੀ ਬਜਾਏ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਦੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਡਾਟਾ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈ:
r2, r2, ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰਭਰ (ਅਨੁਮਾਨਿਤ) ਵੇਰੀਏਬਲ y ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ (ਵਿਆਖਿਆਤਮਕ) ਵੇਰੀਏਬਲ x ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ ਰੀਗਰੈਸ਼ਨ (ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ) ਲਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
1 – r2, r2, ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, y ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਰੀਗਰੈਸ਼ਨ ਲਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ x ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ ਨਹੀਂ ਸਮਝਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਰੀਗਰੈਸ਼ਨ ਲਾਈਨ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤੇ ਡਾਟਾ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੇ ਖਿੰਡਾਅ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤੀਜੇ ਇਮਤਿਹਾਨ/ਅੰਤਿਮ ਇਮਤਿਹਾਨ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ-ਫਿੱਟ ਰੇਖਾ ਹੈ: ŷ = –173.51 + 4.83x।
1. ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ r = .6631 ਹੈ।
2. ਨਿਰਧਾਰਨ ਗੁਣਾਂਕ r2 = .66312 = .4397 ਹੈ।
3. ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ r2 ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4. ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 44 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਪਰਿਵਰਤਨ (0.4397 ਲਗਭਗ 0.44 ਹੈ) ਤੀਜੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ, ਸਭ ਤੋਂ ਢੁੱਕਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਮਝਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਪਰਿਵਰਤਨ (1 – 0.44 = 0.56 ਜਾਂ 56 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ) ਤੀਜੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਢੁੱਕਵੀਂ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਸਮਝਾਈ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦੀ। ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੈ ਜੋ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।