ਇਹ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਲਈ ਨਵਾਂ ਵੰਡ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਐਫ ਵੰਡ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਸਰ ਰੋਨਾਲਡ ਫਿਸ਼ਰ, ਇੱਕ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਅੰਕੜਾ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਦੇ ਨਾਮ ਉੱਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਐਫ ਅੰਕੜਾ ਇੱਕ ਅਨੁਪਾਤ (ਇੱਕ ਭਿੰਨ) ਹੈ। ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਆਫ ਫਰੀਡਮ ਦੇ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਰ ਲਈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਐਫ ਐਫ ਵੰਡ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਡਿਗਰੀ ਆਫ ਫਰੀਡਮ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 4 ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਲਈ ਡਿਗਰੀ ਆਫ ਫਰੀਡਮ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 10 ਹੈ, ਤਾਂ ਐਫ ~ ਐਫ4,10।
ਨੋਟ
ਐਫ ਵੰਡ ਸਟੂਡੈਂਟ ਦੇ ਟੀ-ਵੰਡ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਐਫ ਵੰਡ ਦੇ ਮੁੱਲ ਟੀ-ਵੰਡ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ-ਪਾਸੀ ਐਨੋਵਾ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਟੀ-ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸ ਉਤਪਤੀ ਦਾ ਦਾਇਰਾ ਇਸ ਕੋਰਸ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਪਰੇ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੂਹ ਹੋਣ ਤਾਂ ਜੋੜੀਵਾਰ ਟੀ-ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਐਨੋਵਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਤਰਜੀਹੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕਈ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਟਾਈਪ 1 ਗਲਤੀ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਐਫ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਭਿੰਨਤਾ ਦੇ ਦੋ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਨਮੂਨਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਭਿੰਨਤਾ: ਸਿਗਮਾ-ਸਕੁਏਰ (σ2) ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਜੋ ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕਾਂ ਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ n ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਨਮੂਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਮੂਨਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਭਾਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਇਲਾਜ ਕਾਰਨ ਭਿੰਨਤਾ ਜਾਂ ਸਮਝਾਈ ਗਈ ਭਿੰਨਤਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਭਿੰਨਤਾ: ਸਿਗਮਾ-ਸਕੁਏਰ (σ2) ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਜੋ ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੂਲਡ ਭਿੰਨਤਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਭਾਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਗਲਤੀ ਕਾਰਨ ਭਿੰਨਤਾ ਜਾਂ ਅਣਸਮਝੀ ਭਿੰਨਤਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਐਸਐਸਬਿਟਵੀਨ (SSbetween) = ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਮੂਨਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਐਸਐਸਵਿਦਇਨ (SSwithin) = ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜੋ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਭਿੰਨਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੌਕੇ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਮਾਧਿਅਕ (mean square) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ ਜੋ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਭਾਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਵਰਣਨਾਤਮਕ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲਤਾ (standard deviation) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ।
ਐਮਐਸ (MS) ਦਾ ਮਤਲਬ ਮਾਧਿਅਕ ਵਰਗ (mean square) ਹੈ। ਐਮਐਸਬਿਟਵੀਨ (MSbetween) ਸਮੂਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਮਐਸਵਿਦਇਨ (MSwithin) ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ।
ਕੇ (k) = ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ।
ਐਨਜੇ (nj) = ਜੇ-ਵੇਂ ਸਮੂਹ ਦਾ ਆਕਾਰ।
ਐਸਜੇ (sj) = ਜੇ-ਵੇਂ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ।
ਐਨ (n) = ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਜੋੜ (ਕੁੱਲ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ: ਸਿਗਮਾ-ਐਨਜੇ (∑nj))।
ਐਕਸ (x) = ਇੱਕ ਮੁੱਲ: ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ (∑x) = ਸਿਗਮਾ-ਐਸਜੇ (∑sj)।
ਹਰ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ: ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ-ਸਕੁਏਰ (∑x2)।
ਸਮੂਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ: ਐਸਐਸਟੋਟਲ (SStotal) = ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ-ਸਕੁਏਰ (∑x2) – (ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ (∑x) 2) / ਐਨ (n)।
ਕੁੱਲ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ-ਸਕੁਏਰ (∑x2) – (ਸਿਗਮਾ-ਐਕਸ (∑x)) 2 / ਐਨ (n)।
ਸਮਝਾਈ ਗਈ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ: ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਮੂਨਿਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਐਸਐਸ(ਬਿਟਵੀਨ) (SS(between)) = ਸਿਗਮਾ-ਐਸਜੇ-ਸਕੁਏਰ (∑[ (sj) 2 / nj ]) – (ਸਿਗਮਾ-ਐਸਜੇ (∑sj)) 2 / ਐਨ (n)।
ਅਣਸਮਝੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ: ਮੌਕੇ ਕਾਰਨ ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਐਸਐਸ ਵਿਦਇਨ (SS within) = ਐਸਐਸ ਟੋਟਲ (SS total) – ਐਸਐਸ ਬਿਟਵੀਨ (SS between)।
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੂਹਾਂ ਲਈ ਡੀਐਫ (ਡੀਐਫ ਅੰਸ਼ ਲਈ): ਡੀਐਫ (df) = ਕੇ (k) – 1।
ਨਮੂਨਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਗਲਤੀਆਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ (ਡੀਐਫ ਹਰ ਲਈ): ਡੀਐਫਵਿਦਇਨ (dfwithin) = ਐਨ (n) – ਕੇ (k)।
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੂਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਝਾਈ ਗਈ ਮਾਧਿਅਕ ਵਰਗ (ਭਿੰਨਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ): ਐਮਐਸਬਿਟਵੀਨ (MSbetween) = ਐਸਐਸ ਬਿਟਵੀਨ (SS between) / ਡੀਐਫ ਬਿਟਵੀਨ (df between)।
Mean square (variance estimate) that is due to chance (unexplained): MSwithin = S S within d f within S S within d f within
MSbetween and MSwithin can be written as follows:
M S between = S S between d f between = S S between k−1 M S between = S S between d f between = S S between k−1
M S within = S S within d f within = S S within n−k M S within = S S within d f within = S S within n−k
The one-way ANOVA test depends on the fact that MSbetween can be influenced by population differences among means of the several groups. Since MSwithin compares values of each group to its own group mean, the fact that group means might be different does not affect MSwithin.
The null hypothesis says that all groups are samples from populations having the same normal distribution. The alternate hypothesis says that at least two of the sample groups come from populations with different normal distributions. If the null hypothesis is true, MSbetween and MSwithin should both estimate the same value.
Note
The null hypothesis says that all the group population means are equal. The hypothesis of equal means implies that the populations have the same normal distribution because it is assumed that the populations are normal and that they have equal variances.
F Ratio or F Statistic F= M S between M S within F= M S between M S within
If MSbetween and MSwithin estimate the same value, following the belief that H0 is true, then the F ratio should be approximately equal to 1. Mostly, just sampling errors would contribute to variations away from 1. As it turns out, MSbetween consists of the population variance plus a variance produced from the differences between the samples. MSwithin is an estimate of the population variance. Since variances are always positive, if the null hypothesis is false, MSbetween will generally be larger than MSwithin. Then the F ratio will be larger than 1. However, if the population effect is small, it is not unlikely that MSwithin will be larger in a given sample.
The previous calculations were done with groups of different sizes. If the groups are the same size, the calculations simplify somewhat and the F ratio can be written as follows:
F Ratio formula when the groups are the same sizeF= n⋅ s x ¯ 2 s 2 pooled F= n⋅ s x ¯ 2 s 2 pooled
n = the sample size
dfnumerator = k – 1
dfdenominator = n – k
s2 pooled = the mean of the sample variances (pooled variance)
s x ¯ 2 s x ¯ 2 = the variance of the sample means
Data is typically put into a table for easy viewing. One-way ANOVA results are often displayed in this manner by computer software.
row: Source of Variation | Sum of Squares (SS) | Degrees of Freedom (df) | Mean Square (MS) | F
row: Factor (Between) | SS(Factor) | k – 1 | MS(Factor) = SS(Factor)/(k – 1) | F = MS(Factor)/MS(Error)
row: Error (Within) | SS(Error) | n – k | MS(Error) = SS(Error)/(n – k)
row: Total | SS(Total) | n – 1
Example 13.1
Three different diet plans are to be tested for mean weight loss. The entries in the table are the weight losses for the different plans. The one-way ANOVA results are shown in Table 13.2.
1. ਕਤਾਰ: ਯੋਜਨਾ 1: n1 = 4 | ਯੋਜਨਾ 2: n2 = 3 | ਯੋਜਨਾ 3: n3 = 3
2. ਕਤਾਰ: 5 | 3.5 | 8
3. ਕਤਾਰ: 4.5 | 7 | 4
4. ਕਤਾਰ: 4 | 3.5
5. ਕਤਾਰ: 3 | 4.5
6. s1 = 16.5, s2 = 15, s3 = 15.5
7. ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ANOVA ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਭਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
8. ਜਿੱਥੇ n1 = 4, n2 = 3, n3 = 3, ਅਤੇ n = n1 + n2 + n3 = 10
9. TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
10. ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ANOVA ਸਾਰਣੀ: SS(ਕੁੱਲ), SS(ਕਾਰਕ) = SS(ਵਿਚਕਾਰ), ਅਤੇ SS(ਤ੍ਰੁਟੀ) = SS(ਅੰਦਰ) ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ। TI ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ANOVA STAT TESTS (ਸਿੰਟੈਕਸ ANOVA[L1, L2, L3] ਹੈ ਜਿੱਥੇ L1, L2, L3 ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਯੋਜਨਾ 1, ਯੋਜਨਾ 2, ਯੋਜਨਾ 3 ਦਾ ਡਾਟਾ ਹੈ) ਦੁਆਰਾ ਉਹੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
11. ਕਤਾਰ: ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਸਰੋਤ | ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (SS) | ਆਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (df) | ਔਸਤ ਵਰਗ (MS) | F
12. ਕਤਾਰ: ਕਾਰਕ (ਵਿਚਕਾਰ) | SS(ਕਾਰਕ) = SS(ਵਿਚਕਾਰ) = 2.2458 | k – 1 = 3 ਸਮੂਹ – 1 = 2 | MS(ਕਾਰਕ) = SS(ਕਾਰਕ)/(k – 1) = 2.2458/2 = 1.1229 | F = MS(ਕਾਰਕ)/MS(ਤ੍ਰੁਟੀ) = 1.1229/2.9792 = 0.3769
13. ਕਤਾਰ: ਤ੍ਰੁਟੀ (ਅੰਦਰ) | SS(ਤ੍ਰੁਟੀ) = SS(ਅੰਦਰ) = 20.8542 | n – k = 10 ਕੁੱਲ ਡਾਟਾ – 3 ਸਮੂਹ = 7 | MS(ਤ੍ਰੁਟੀ) = SS(ਤ੍ਰੁਟੀ)/(n – k) = 20.8542/7 = 2.9792
14. ਕਤਾਰ: ਕੁੱਲ | SS(ਕੁੱਲ) = 2.2458 + 20.8542 = 23.1 | n – 1 = 10 ਕੁੱਲ ਡਾਟਾ – 1 = 9
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 13.1
16. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਮਿੱਟੀ ਦੇ ਢੱਕਣ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਟਮਾਟਰ ਉਤਪਾਦਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨਗੇ, ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ, ਮਾਰਿਸਟ ਕਾਲਜ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਿੱਟੀ ਦੇ ਢੱਕਣ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਟਮਾਟਰ ਦੇ ਪੌਦੇ ਉਗਾਏ। ਤਿੰਨ ਪੌਦਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਇਲਾਜ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ:
17. ਨੰਗੀ ਮਿੱਟੀ
18. ਇੱਕ ਵਪਾਰਕ ਜ਼ਮੀਨੀ ਢੱਕਣ
19. ਕਾਲਾ ਪਲਾਸਟਿਕ
20. ਤੂੜੀ
21. ਕੰਪੋਸਟ
22. ਸਾਰੇ ਪੌਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਗਾਏ ਗਏ ਸਨ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਨ। ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਨੇ n = 15 ਪੌਦਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਟਮਾਟਰਾਂ ਦਾ ਭਾਰ ਗ੍ਰਾਮ ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਕੀਤਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 13.4 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
23. ਕਤਾਰ: ਨੰਗੀ ਮਿੱਟੀ: n1 = 3 | ਜ਼ਮੀਨੀ ਢੱਕਣ: n2 = 3 | ਪਲਾਸਟਿਕ: n3 = 3 | ਤੂੜੀ: n4 = 3 | ਕੰਪੋਸਟ: n5 = 3
24. ਕਤਾਰ: 2,625 | 5,348 | 6,583 | 7,285 | 6,277
row: 2,997 | 5,682 | 8,560 | 6,897 | 7,818
row: 4,915 | 5,482 | 3,830 | 9,230 | 8,677
Create the one-way ANOVA table.
The one-way ANOVA hypothesis test is always right-tailed because larger F values are way out in the right tail of the F distribution curve and tend to make us reject H0.
Notation
The notation for the F distribution is F ~ Fdf(num),df(denom),
where df(num) = dfbetween and df(denom) = dfwithin.
The mean for the F distribution is μ= df(denom) df(denom)–2 . μ= df(denom) df(denom)–2 .