F ਵੰਡ ਬਾਰੇ ਤੱਥ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
ਵਕਰ ਸਮਮਿਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਝੁਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
df ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
F ਸਟੈਟਿਸਟਿਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਡਿਗਰੀ ਆਫ਼ ਫਰੀਡਮ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਵਕਰ ਆਮ ਵੰਡ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
F ਵੰਡ ਦੇ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੇਰੀਅੰਸਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਦੋ-ਪਾਸੜ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਦੋ-ਪਾਸੜ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13.2
ਸਮੱਸਿਆ
ਆਓ ਆਪਾਂ ਟਰਾਈ ਇਟ 13.1 ਵਿੱਚ ਟਮਾਟਰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਕਸਰਤ ਵੱਲ ਮੁੜੀਏ। ਪੰਜ ਮਲਚਿੰਗ ਹਾਲਤਾਂ ਅਧੀਨ ਟਮਾਟਰਾਂ ਦੀ ਉਪਜ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ μ1, μ2, μ3, μ4, μ5 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਪ੍ਰੀਖਣ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੀ ਸਾਰੇ ਮਾਧਿਅਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। 5 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਮਹੱਤਤਾ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰੀਖਣ ਕਰੋ ਕਿ ਪੰਜਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਧਿਅਮ ਉਪਜਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਬਨਾਮ ਵਿਕਲਪਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮਾਧਿਅਮ ਬਾਕੀਆਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਵਿਕਲਪਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾਵਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ:
H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5
Ha: μi ≠ μj ਕਿਸੇ i ≠ j ਲਈ
ਇੱਕ-ਪਾਸੜ ANOVA ਨਤੀਜੇ ਸਾਰਣੀ 13.5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ
ਸਤਰ: ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਸਰੋਤ | ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (SS) | ਆਜ਼ਾਦੀ ਦੇ ਡਿਗਰੀ (df) | ਔਸਤ ਵਰਗ (MS) | F
ਸਤਰ: ਕਾਰਕ (ਵਿੱਚਕਾਰ) | 36,648,561 | 5 – 1 = 4 | 36,648,561 4 = 9,162,140 | 9,162,140 2,044,672.6 = 4.4810
ਸਤਰ: ਗਲਤੀ (ਅੰਦਰ) | 20,446,726 | 15 – 5 = 10 | 20,446,726 10 = 2,044,672.6 | 2,044,672.6
ਸਤਰ: ਕੁੱਲ | 57,095,287 | 15 – 1 = 14
ਪ੍ਰੀਖਣ ਲਈ ਵੰਡ: F4,10
df(ਅੰਸ਼) = 5 – 1 = 4
df(ਹਰ) = 15 – 5 = 10
ਪ੍ਰੀਖਣ ਸਟੈਟਿਸਟਿਕ: F = 4.4810
ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਿਆਨ: p-ਮੁੱਲ = P(F > 4.481) = 0.0248
α ਅਤੇ p-ਮੁੱਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ: α = 0.05, p-ਮੁੱਲ = 0.0248
Make a decision: Since α > p-value, we reject H0.
Conclusion: At the 5 percent significance level, we have reasonably strong evidence that differences in mean yields for slicing tomato plants grown under different mulching conditions are unlikely to be due to chance alone. We may conclude that at least some of the mulches led to different mean yields.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
To find these results on the calculator:
Press STAT. Press 1:EDIT. Put the data into the lists L1,L2,L3,L4,L5.
Press STAT, arrow over to TESTS, and arrow down to ANOVA. Press ENTER, and then enter (L1,L2,L3,L4,L5). Press ENTER. You will see that the values in the foregoing ANOVA table are easily produced by the calculator, including the test statistic and the p-value of the test.
The calculator displays: F = 4.4810 p = 0.0248 (p-value) Factor df = 4 SS = 36648560.9 MS = 9162140.23 Error df = 10 SS = 20446726 MS = 2044672.6
Try It 13.2
MRSA, or Staphylococcus aureus, can cause serious bacterial infections in hospital patients. Table 13.6 shows various colony counts from different patients who may or may not have MRSA. The data from the table is plotted in Figure 13.5.
row: Conc = 0.6 | Conc = 0.8 | Conc = 1.0 | Conc = 1.2 | Conc = 1.4
row: 9 | 16 | 22 | 30 | 27
row: 66 | 93 | 147 | 199 | 168
row: 98 | 82 | 120 | 148 | 132
Plot of the data for the different concentrations:
Test whether the mean numbers of colonies are the same or are different. Construct the ANOVA table by hand or by using a TI-83, 83+, or 84+ calculator, find the p-value, and state your conclusion. Use a 5 percent significance level.
Example 13.3
Four sororities took a random sample of sisters regarding their grade means for the past term. The results are shown in Table 13.7.
row: Sorority 1 | Sorority 2 | Sorority 3 | Sorority 4
row: 2.17 | 2.63 | 2.63 | 3.79
row: 1.85 | 1.77 | 3.78 | 3.45
row: 2.83 | 3.25 | 4.00 | 3.08
row: 1.69 | 1.86 | 2.55 | 2.26
row: 3.33 | 2.21 | 2.45 | 3.18
Problem
1 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਦੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ, ਕੀ ਸੋਰੋਰਿਟੀਜ਼ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਗ੍ਰੇਡਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅੰਤਰ ਹੈ?
2 ਹੱਲ
3 ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੋਰੋਰਿਟੀਜ਼ ਦੇ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਮਾਧਿਅਮ μ1, μ2, μ3, μ4 ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਦਾ ਦਾਅਵਾ ਹੈ ਕਿ ਸੋਰੋਰਿਟੀ ਸਮੂਹ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਧਾਰਨ ਵੰਡ ਤੋਂ ਹਨ। ਵਿਕਲਪਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਸੋਰੋਰਿਟੀ ਸਮੂਹ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਧਾਰਨ ਵੰਡਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਆਬਾਦੀਆਂ ਤੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਚਾਰ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਹਰੇਕ ਪੰਜ ਹਨ।
4 ਨੋਟ
5 ਇਹ ਇੱਕ ਸੰਤੁਲਿਤ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ (ਭਾਵ, ਸੋਰੋਰਿਟੀ) ਵਿੱਚ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
6 H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
7 Ha: ਸਾਰੇ ਮਾਧਿਅਮ μ1, μ2, μ3, μ4 ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ।
8 ਟੈਸਟ ਲਈ ਵੰਡ: F3,16
9 ਜਿੱਥੇ k = 4 ਸਮੂਹ ਅਤੇ n = ਕੁੱਲ 20 ਨਮੂਨੇ ਹਨ।
10 df(ਅੰਸ਼)= k – 1 = 4 – 1 = 3
11 df(ਹਰ)= n – k = 20 – 4 = 16
12 ਟੈਸਟ ਅੰਕੜੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: F = 2.23
13 ਗ੍ਰਾਫ
14 ਸੰਭਾਵਨਾ ਬਿਆਨ: p-ਮੁੱਲ = P(F > 2.23) = 0.1241
15 α ਅਤੇ p-ਮੁੱਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ: α = 0.01 p-ਮੁੱਲ = 0.1241 α < p-ਮੁੱਲ
16 ਫੈਸਲਾ ਲਓ: ਕਿਉਂਕਿ α < p-ਮੁੱਲ, ਅਸੀਂ H0 ਨੂੰ ਰੱਦ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
17 ਸਿੱਟਾ: ਸੋਰੋਰਿਟੀਜ਼ ਲਈ ਔਸਤ ਗ੍ਰੇਡਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦਾ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੋਈ ਕਾਫ਼ੀ ਸਬੂਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।
18 TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
19 ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਸੂਚੀਆਂ L1, L2, L3, ਅਤੇ L4 ਵਿੱਚ ਪਾਓ। STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ TESTS ਵੱਲ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। F:ANOVA ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਤੀਰ ਚਲਾਓ। ENTER ਦਬਾਓ ਅਤੇ (L1,L2,L3,L4) ਦਰਜ ਕਰੋ।
20 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ F ਅੰਕੜੇ, p-ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਇੱਕ-ਪਾਸੇ ANOVA ਟੇਬਲ ਲਈ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ: F = 2.2303 p = 0.1241 (p-ਮੁੱਲ) ਕਾਰਕ df = 3 SS = 2.88732 MS = 0.96244 ਤਰੁੱਟੀ df = 16 SS = 6.9044 MS = 0.431525
21 ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 13.3
22 ਚਾਰ ਖੇਡ ਟੀਮਾਂ ਨੇ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ GPA ਬਾਰੇ ਖਿਡਾਰੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲਿਆ। ਨਤੀਜੇ ਟੇਬਲ 13.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
23 ਕਤਾਰ: ਬਾਸਕਟਬਾਲ | ਬੇਸਬਾਲ | ਹਾਕੀ | ਲਾਕਰੋਸ
24 ਕਤਾਰ: 3.6 | 2.1 | 4.0 | 2.0
2.9 | 2.6 | 2.0 | 3.6
2.5 | 3.9 | 2.6 | 3.9
3.3 | 3.1 | 3.2 | 2.7
3.8 | 3.4 | 3.2 | 2.5
ਪੰਜ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਦੇ ਪੱਧਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੀਮਾਂ ਦੇ ਜੀ.ਪੀ.ਏ. ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅੰਤਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13.4
ਚੌਥੀ ਜਮਾਤ ਦਾ ਇੱਕ ਬੱਚਾ ਵਾਤਾਵਰਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਸਾਈਨਮੈਂਟ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਿੱਟੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬੀਨ ਪੌਦੇ ਉਗਾਉਣਾ ਹੈ। ਟੌਮੀ ਨੇ ਆਪਣੀ ਕਲਾਸਰੂਮ ਦੇ ਬਾਹਰ ਮਿਲੀ ਮਿੱਟੀ ਵਿੱਚ ਡ੍ਰਾਇਰ ਲਿੰਟ ਮਿਲਾ ਕੇ ਆਪਣੇ ਬੀਨ ਪੌਦੇ ਉਗਾਉਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ। ਤਾਰਾ ਨੇ ਸਥਾਨਕ ਨਰਸਰੀ ਤੋਂ ਖਰੀਦੀ ਪੋਟਿੰਗ ਮਿੱਟੀ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਬੀਨ ਪੌਦੇ ਉਗਾਉਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ। ਨਿੱਕ ਨੇ ਆਪਣੀ ਮਾਂ ਦੇ ਬਾਗ ਤੋਂ ਮਿੱਟੀ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਬੀਨ ਪੌਦੇ ਉਗਾਉਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ। ਪੌਦਿਆਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਰਸਾਇਣ ਨਹੀਂ ਵਰਤੇ ਗਏ, ਸਿਰਫ ਪਾਣੀ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਖਿੜਕੀ ਦੇ ਕੋਲ ਕਲਾਸਰੂਮ ਦੇ ਅੰਦਰ ਉਗਾਇਆ ਗਿਆ। ਹਰ ਬੱਚੇ ਨੇ ਪੰਜ ਪੌਦੇ ਉਗਾਏ। ਵਧਣ ਦੀ ਮਿਆਦ ਦੇ ਅੰਤ 'ਤੇ, ਹਰ ਪੌਦੇ ਨੂੰ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਟੇਬਲ 13.9 ਵਿੱਚ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਪੈਦਾ ਹੋਇਆ।
ਟੌਮੀ ਦੇ ਪੌਦੇ | ਤਾਰਾ ਦੇ ਪੌਦੇ | ਨਿੱਕ ਦੇ ਪੌਦੇ
24 | 25 | 23
21 | 31 | 27
23 | 23 | 22
30 | 20 | 30
23 | 28 | 20
ਸਮੱਸਿਆ
ਕੀ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਤਿੰਨ ਮਿੱਟੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬੀਨ ਪੌਦੇ ਉਗਾਏ ਗਏ ਸਨ, ਉਹ ਇੱਕੋ ਮੱਧਮ ਉਚਾਈ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ? 3 ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਮਹੱਤਵ ਦੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਪਰਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ ਐਫ' ਸਟੈਟਿਸਟਿਕ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ F' = n⋅ s x ¯ 2 s 2 pooled n⋅ s x ¯ 2 s 2 pooled ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਟੌਮੀ ਦੇ ਪੌਦੇ | ਤਾਰਾ ਦੇ ਪੌਦੇ | ਨਿੱਕ ਦੇ ਪੌਦੇ
ਨਮੂਨਾ ਮੱਧਮ | 24.2 | 25.4 | 24.4
ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾ | 11.7 | 18.3 | 16.3
ਫਿਰ, 24.2, 25.4, ਅਤੇ 24.4 ਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਸਮੂਹ ਮੱਧਮਾਂ ਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਸਮੂਹ ਮੱਧਮਾਂ ਦੀ ਭਿੰਨਤਾ = 0.413 = s x ¯ 2 s x ¯ 2,
ਫਿਰ MSbetween = n s x ¯ 2 n s x ¯ 2 = (5)(0.413) ਜਿੱਥੇ n = 5 ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਹੈ (ਹਰ ਬੱਚੇ ਦੁਆਰਾ ਉਗਾਏ ਗਏ ਪੌਦਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ)।
ਤਿੰਨ ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ (11.7, 18.3, ਅਤੇ 16.3) ਦੇ ਮੱਧਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਨਮੂਨਾ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਦਾ ਮੱਧਮ = 15.433 = s2pooled,
then MSwithin = s2pooled = 15.433.
The F statistic (or F ratio) is F= M S between M S within = n s x ¯ 2 s 2 pooled = (5)(0.413) 15.433 =0.134 . F= M S between M S within = n s x ¯ 2 s 2 pooled = (5)(0.413) 15.433 =0.134 .
The dfs for the numerator = the number of groups – 1 = 3 – 1 = 2.
The dfs for the denominator = the total number of samples – the number of groups = 15 – 3 = 12.
The distribution for the test is F2,12 and the F statistic is F = 0.134.
The p-value is P(F > 0.134) = 0.8759.
Decision: Since α = 0.03 and the p-value = 0.8759, we do not reject H0. Why?
Conclusion: With a 3 percent level of significance from the sample data, the evidence is not sufficient to conclude that the mean heights of the bean plants are different.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
To calculate the p-value:
•Press 2nd DISTR,
•Arrow down to Fcdf and press ENTER,
•Enter 0.134, E99, 2, 12, and
•Press ENTER.
The p-value is 0.8759.
Try It 13.4
Another fourth grader also grew bean plants, but in a jelly-like mass. The heights were (in inches) 24, 28, 25, 30, and 32. Do a one-way ANOVA test on the four groups. Are the heights of the bean plants different? Use the same method as shown in Example 13.4.
Collaborative Exercise
From the class, create four groups of the same size as follows: men under 22, men at least 22, women under 22, women at least 22. Have each member of each group record the number of states in the United States he or she has visited. Run an ANOVA test to determine if the average number of states visited in the four groups are the same. Test at a 1 percent level of significance. Use one of the solution sheets in Appendix E.